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von **Teq** » 24.06.09 16:25

Hallo zusammen,

Gibt es hier jemanden, der die Herleitung der AGWN Kanalkapazität nach Shannon mitgeschrieben hat? Ich war wohl in dieser Vorlesung nicht anwesend ;D
Das ganze findet sich im Skript Nachrichtensysteme I auf Seite 41 unten. Falls das jemand einscannen, abfotografieren, abtippen o.ä. machen könnte wäre ich sehr dankbar =)

Gruß, Sebastian

Edit: Whoops, das Thema ist im falschen "Anwendungsfach" Forum. Gehört natürlich nach "Hauptstudium/Master"...

von **TheStranger** » 24.06.09 19:50

Hiho,

ob nu Bachelor oder Master naja, ich habs mitgeschrieben

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- AWGN Bandpasskanal mit spektraler Leistungsdichte W_0 (Störung)
$N = \int\limits_{-\infty}^\infty W_0 \cdot |H(f)|^2 df = 2 BW_0$
Kanalkapazität Grenzfall $B \rightarrow \infty$
$C_\infty = \lim\limits_{B \rightarrow \infty} B \cdot ld(1 + \frac{S}{2BW_0})\ \ \ \ \ \ \ \ ; ld(x) = ld(e) \cdot ln(x) \\ = \lim\limits_{B \rightarrow \infty} ld(e) \cdot \left[B \cdot \frac{S}{2BW_0} - B \cdot \frac{S}{(2BW_0)^2} + \dots\right] \ \ \ \ \ \ \ \ ; ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} \\ = ld(e) \cdot \frac{S}{2W_0}$
Terme mit B im Nenner fallen weg aufgrund des Limes.

- Binäre Gleichverteilung mit Symbolen {0,1}:
Bitdauer $T_b \geq \frac{1}{C_\infty} \Leftrightarrow f_A \geq C_\infty$ Frequenz höher als max Kapazität.

- Energie pro Bit beim Empfänger:
$E_b = S \cdot T_b \geq \frac{S}{C_\infty} = (\frac{ld(e)}{2})^{-1} \cdot \frac{W_0}{S} \cdot S \\ \frac{E_b}{W_0} \geq \frac{2}{ld(e)} \Leftrightarrow 10 \lg(\frac{E_b}{W_0}) \geq 1.42$

-------------

Übernehme natürlich keine Garantie für richtiges Abschreiben.

Gruß.

von **Teq** » 24.06.09 22:15

Hey, vielen Dank für die Mühe!

Ich fürchte aber das es nicht das ist was ich brauche ^^
Ich suche die Herleitung von Gleichung (1.28 ) (WS07/08 ):
$C = \max\{T'\} = \max\{2B \left(H(Y)-H(R)\right)\} = B \cdot \log_2 \left(1 + \frac{S}{N}\right)$ , also insbesondere das letzte Gleichheitszeichen!

Möglicherweise liegts daran, dass mein Skript vom WS 2007/08 ist und das neuere etwas verändert ist.

War aber trotzdem keine vergebene Mühe @ TheStranger, die Herleitung für $C_{\infty}$ ist auch sehr praktisch =)

Gruß!

P.S. Im Diplom ist es eine Hauptstudiumsveranstaltung, daher dachte ich ich hätte mich vertan

von **TheStranger** » 24.06.09 22:50

Jo, du hast recht, dass ist bei uns auf ner anderen Seite, nächste ma direkt die Gleichungsnummer dabei schreiben

Und nun ja, im Prinzip ist es auch ne Masterveranstaltung, aber spricht ja nichts dagegen, sie schon im Bachelor belegen.

Aber mal zu deiner Ableitung:
Entropie der Ströung: $H(R) = \frac{1}{2} ld(2 \pi e \sigma_r^2)$
Entropie H(Y):
1. y(t) Kanal mit begrenzter Leistung
2. max{H(Y)}, wenn y(t) Gaussverteilt
$y(t) = x(t) + r(t)$
3. $\tilde{r}(t)$ und auch r(t) gauss verteilt $\Rightarrow$ x(t) auch gaussverteilt. (allg. Filterungen von Gaussverteilungen sind auch wieder Gaussverteilt)
[Bem: r ist das gefilterte Rauschen, $\tilde{r}$ das ursprüngliche weiße Rauschen]
4. y(t) gaussverteilt $\Rightarrow \sigma_y^2 = \sigma_x^2 + \sigma_r^2$

Transinformation:
$T_{max} = \frac{1}{2} ld(2\pi e(\sigma_x^2 + \sigma_r^2) - \frac{1}{2} ld(2\pi e \sigma_r^2) \\ = \frac{1}{2} ld(\frac{\sigma_x^2}{\sigma_r^2} +1) \\ = \frac{1}{2} ld(1+\frac{S}{N}) , S := \sigma_x^2, N := \sigma_r^2$

von **Teq** » 25.06.09 08:54

TheStranger hat geschrieben:Jo, du hast recht, dass ist bei uns auf ner anderen Seite, nächste ma direkt die Gleichungsnummer dabei schreiben

Und nun ja, im Prinzip ist es auch ne Masterveranstaltung, aber spricht ja nichts dagegen, sie schon im Bachelor belegen.

Aber mal zu deiner Ableitung:
[...]

Jo, wäre wohl besser gewesen ^^
Jetzt ist es perfekt, genau das habe ich gebraucht =)
Danke!

Gruß

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[E-Technik] Nachrichtensysteme I: Herleitung Kanalkapazität AWGN Kanal

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