Endliche überabzählbare Mengen...

[Muffi]

Ein Widerspruch im Threadtitel? Auf jeden Fall, meine ich. Nicht hingegen Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim von der FH Augsburg. Ich verfolge jetzt schon seit fast einer Woche einen Thread in der Newsgroup de.sci.mathematik, der sich "Beweis für die Abzählbarkeit von " nennt. Der Thread war erst recht harmlos, auch wenn die Grundidee nicht die beste war. Lustig wurde es allerdings, als dann Prof. Mückenheim ("WM") seine Theorien zum besten gab. Er hat wohl auch schon andere Gruppen heimgesucht (sci.math, sci.logic, ...). Ab 11.10.08, 21:28 wird es interessant. Kostprobe? Bittesehr:

Bitte weiter so. Leider haben einige (wenige) Deiner
Diskussionspartner hier keine gute Erziehung bzw. müssen ihr Tourette-
Syndrom ausleben. Das nervt, aber es sollte nicht zur Resignation
führen. Fast alle Mathematiker haben irgendwann im Studium einmal,
möglicherweise sofort, geschluckt, dass die Menge der natürlichen
Zahlen unendlich ist und *vollständig* existiert, obwohl jede
natürlich Zahl endlich ist. (Habe ich auch einmal geglaubt.) Aber das
führt zu Cantors "vollendeter Unendlichkeit", was eigentlich
aufhorchen lassen sollte.

Bitte lasse Dir nicht den Eindruck eintrichtern, dass alle
Mathematiker davon überzeugt wären. Diese Partei schreit am lautesten
- sonst nichts. Dein Ansatz war zwar noch etwas
verbesserungsbedürftig, aber Du hast das richtige Gespür.

Das Konzept der "vollendeten Unendlichkeit" (ohne den das
Diagonalargument notwendig versagt, weil Cantors "Liste" nie
vollständig wäre) führt nämlich nicht nur auf diesen verbalen
Selbstwiderspruch, sondern auf viele andere. Nur ein Beispiel: Eine
Folge von rationalen Zahlen, die durch Einsen in der einfachen Form

0,1; 0,11; 0,111; ... (*)

realisiert werden, enthält nicht ihren Grenzwert

0,111... = SUM{n in N} 10^-n, (**)

denn, so werden Dich die Cantorianer belehren, jede Zahl aus (*)
besitzt eine letzte 1 an einer natürlich indizierten Stelle, die Zahl
(**) aber nicht.

Diese Behauptung ist natürlich falsch, denn die Summe (**) enthält ja
nichts anderes als Einsen an allen endlichen Indizes. Diese sind
offenbar in der Folge (*) auch enthalten. Sonst würde dort etwas
fehlen.

Den obigen Satz könnte man, ohne seinen Sinn zu verändern, auch etwas
anders ausdrücken:
Jede Zahl aus (*) besitzt eine letzte 1 an einer natürlich indizierten
Stelle, die Zahl (**) aber besitzt eine letzte 1 an einer unnatürlich
indizierten Stelle. Damit würde seine Sinnlosigkeit offenbar. Die
Abwesenheit von (**) in (*) ist aber zwingend notwendig für das
Diagonalargument. Andernfalls bricht es zusammen.

Doch das ist nur ein unwichtiges Detail. Selbst wenn das
Diagonalargument richtig *wäre*, so wäre die von Cantor gegebene und
von seinen Eleven kritiklos übernommene Interpretation doch falsch.
Die Nichtexistenz der Diagonalzahl in der Liste hat nichts mit
Überabzählbarkeit zu tun, sondern ist ein logisches Paradoxon wie die
Menge, die alle jene Zahlen enthält, die sie nicht enthält.

Die Menge aller konstruierbaren oder individuell definierbaren
Diagonalzahlen ist sicher abzählbar. (Hier greift Dein Argument mit
der Anzahl endlicher Wörter über einem endlichen Alphabet.) Trotzdem
kann diese abzählbare Menge nicht in Form einer Folge geschrieben
werden, denn sie enthält nicht die Diagonalzahl dieser Folge. Also ist
diese abzählbare Menge nicht abzählbar, oder besser: Das Konzept der
Abzählbarkeit ist widersprüchlich.

Doch auch dies ist nicht wirklich wichtig. Wirklich wichtig ist die
Nichtexistenz der "meisten" reellen Zahlen (wenn wir für einen Moment
an die Existenz der überabzählbaren Menge |R glauben wollen.) Alle
Definitionen und alle Namen von Zahlen sind endlich und bilden
folglich eine abzählbare Menge. Also lassen sich die meisten reellen
Zahlen überhaupt nicht individuell bezeichnen, definieren, verwenden,
natürlich auch nicht in Cantor-Listen, aber nirgendwo sonst, außer mit
Hilfe der Vollmundigen Aussage: Ich nehme mal eben alle reellen Zahlen
her. Oder: Es gibt alle reellen Zahlen. Große Worte, nichts dahinter.

Die Cantorianer glauben also - und geben dies offen zu - an Zahlen,
die nicht bezeichnet werden können und damit in der Mathematik nichts
zu suchen haben. Dagegen sind die oben genannten kleinen Fehler nur
Peanuts!

Genaueres dazu findest Du unter

http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/P5%20Zusfass.doc

Bitte lasse Dich nur nicht entmutigen oder mit der allgemein
verbreiteten Matheologie infizieren!

Gruß, WM

Dass dieser Mensch seine "Weisheit" auch noch an einer Hochschule verbreiten darf, finde nicht nur ich einen Skandal. Lest es euch mal durch, wenn ihr etwas Zeit habt. Teilweise ist das wirklich haarsträubend...

[O.D.]

Ach komm, ist heute der 1. April? Sicher dass dieser WM wirklich der ist, den für den er sich ausgibt und sich nicht nur einfach so genannt hat? Ich kann mir nicht vorstellen, dass der Mensch einen Lehrstuhl für Mathematik innehat.

[Muffi]

Ich mir auch nicht, aber er ist in der Newsgroup tatsächlich bekannt. Sicher kann ich natürlich trotzdem nicht sein.

[Alexander Urban]

Anhand des im Post angegebenen Link lässt sich zurückverfolgen, dass, falls niemand nur für diesen Scherz die Website der FH Augsburg gehackt hat, Prof. Mückenheim tatsächlich ähnlich abwegige Thesen vertritt und an der FH Augsburg lehrt.

[cracki]

www.hs-augsburg.de
und
www.fh-augsburg.de
sind doch der selbe host.


hatte gedacht, das waere nur ein proxy mit einbindung von unterverzeichnissen eines trolls.

[kb]

Was ist denn daran bitte ein Skandal?? Nur weil er etwas anders als "alle" Mathematiker denkt (wobei er sicher nicht der einzige ist), heißt es nicht, dass es totaler Unsinn ist. Sonst würde immer noch die Sonne um die Erdscheibe drehen, und sowas wie Quantentheorie gar nicht existieren.
Der Fortschritt der Wissenschaft lebt von solchen Aussagen.

Hab nicht alles genau durchgelesen, aber letztendlich gehts im doch darum, dass man nicht alle reellen Zahlen definieren/benennen kann, und deshalb deren Existenz fragwürdig ist. Sie werden nur "Umschrieben", entweder durch Aussagen (s.o.), oder z.B. durch Formeln, aber nicht als Zahl definiert.
Jedenfalls verstehe ich so die Aussage. Und so abwägig ist der Gedanke imo nicht. Vielleicht führt er ja später zu einer neuen Theorie o.Ä. . Denn genau wie bei der Quantentheorie (nur als Beispiel) ists doch: "Das kann man mit den bisherigen Mitteln nicht richtig erklären, also suchen wir was besseres."

Btw, hab mir die .doc nicht angeschaut...sollte ich? ^^

[Daniel]

so, wer druckt das nun aus und bringt das mal einem Mathematiker

[O.D.]

Hab nicht alles genau durchgelesen, aber letztendlich gehts im doch darum, dass man nicht alle reellen Zahlen definieren/benennen kann, und deshalb deren Existenz fragwürdig ist. Sie werden nur "Umschrieben", entweder durch Aussagen (s.o.), oder z.B. durch Formeln, aber nicht als Zahl definiert.

Man kann auch nicht alle natürlichen Zahlen benennen - obwohl er da ja auch irgend so einen Quatsch mit beweist.
Mit seiner Argumentation, können unendliche Mengen nicht existieren. Denn man kann unmöglich allen Elementen einen (einzigartigen) Namen geben. Und es liegt auf der Hand, _DASS_ es unendliche Mengen geben muss. Wäre N endlich, könnte man ein Maximum m angeben. Durch die induktive Definition würde man dann aber ein n = m + 1 angeben welches aus N ist, gleichzeitig aber größer als m und damit nicht aus N ist => 0.

Was er darüberhinaus mit "vollständig existieren" meint, ist mir schleierhaft. Es ist absolut klar, dass man keine unendliche Menge aufschreiben kann. Aber nur weil ich das nicht kann, kann ich doch nicht einfach behaupten sie existiere nicht. Dann existiert auch Pi nicht, und e natürlich auch nicht. Überhaupt kann man damit sogar mehr schließen, als das was er macht, nämlich, dass R = Q ist (denn ich kann kein einziges Element aus R\Q vollständig aufschreiben).

[kb]

Doch, man kann ALLE natürlichen Zahlen benennen!
1, 2, 3, 4,.....15555551, 15555552, 155555513 usw. Man kann sie alle konkret benennen, weil sie alle endlich sind! Und deswegen sind sie abzählbar. Eine Aussage über die Nichtexistenz von unendlichen Mengen steht da doch gar nicht. Und Achtung, es geht mehr um Abzählbarkeit, nicht so sehr um Unendlichkeit.

Ich denke es geht jedoch hauptsächlich darum, dass solche Theorien wie "vollendete Unendlichkeit" oder Cantors "Liste" nicht aussagekräftig genug sind bzw. ZU wage sind, um das Tatsächliche zu beschreiben.

Die Nichtexistenz der Diagonalzahl in der Liste hat nichts mit
Überabzählbarkeit zu tun, sondern ist ein logisches Paradoxon wie die
Menge, die alle jene Zahlen enthält, die sie nicht enthält.

Die Menge aller konstruierbaren oder individuell definierbaren
Diagonalzahlen ist sicher abzählbar. (Hier greift Dein Argument mit
der Anzahl endlicher Wörter über einem endlichen Alphabet.) Trotzdem
kann diese abzählbare Menge nicht in Form einer Folge geschrieben
werden, denn sie enthält nicht die Diagonalzahl dieser Folge. Also ist
diese abzählbare Menge nicht abzählbar, oder besser: Das Konzept der
Abzählbarkeit ist widersprüchlich.

Eigentlich simple erklärt, warum das Konzept widersprüchlich ist...und ganz so verkehrt liegt er nicht.

Alle Definitionen und alle Namen von Zahlen sind endlich und bilden
folglich eine abzählbare Menge. Also lassen sich die meisten reellen
Zahlen überhaupt nicht individuell bezeichnen, definieren, verwenden,
natürlich auch nicht in Cantor-Listen, aber nirgendwo sonst, außer mit
Hilfe der Vollmundigen Aussage: Ich nehme mal eben alle reellen Zahlen
her. Oder: Es gibt alle reellen Zahlen. Große Worte, nichts dahinter.

Die Cantorianer glauben also - und geben dies offen zu - an Zahlen,
die nicht bezeichnet werden können

Auch sehr verständlich erklärt find ich. Und "totaler Schmarn" ist die Aussage auch nicht.

Die Konsequenz ist doch (und das will er glaub ich sagen), dass wir mit den bisherigen Mitteln, die teilweise etwas widersprüchlich sind, die Phänomene nicht richtig/korrekt beschreiben können. Wie gesagt, von sowas lebt der Fortschritt der Wissenschaft...

--edit--
Hab mir das jetzt mal auch genauer angesehen. Eigentlich ziemlich einfach zu verstehen, was der gute Mann da will/erklärt.

[O.D.]

Doch, man kann ALLE natürlichen Zahlen benennen!
1, 2, 3, 4,.....15555551, 15555552, 155555513 usw. Man kann sie alle konkret benennen, weil sie alle endlich sind!

Nein, Du hast nur eine 7-elementige Menge benannt. Du kannst zwar beliebig viele Zahlen benennen aber nicht unendlich viele. Und der Punkt ist halt, dass er die Aussage trifft, dass man Elementen erst einen Namen geben muss, damit sie existieren.

[kb]

Es geht nicht darum, dass ich dir die ganze Menge der Natürlichen Zahlen hinschreibe, sondern darum, dass du JEDE natürliche Zahl konkret, undzwar als Zahl(!), benennen kannst. Und das geht eben nur, weil die Zahl endlich ist. Egal wie lang sie ist, man kann jede natürliche Zahl komplett hinschreiben und somit konkret definieren.

--edit--

Du kannst zwar beliebig viele Zahlen benennen aber nicht unendlich viele. Und der Punkt ist halt, dass er die Aussage trifft, dass man Elementen erst einen Namen geben muss, damit sie existieren.

Das hast du nicht richtig verstanden. "Alle Zahlen benennen" heißt nicht alle hinzuschreiben, sondern jede einzelne konkret benennen zu können. Und das geht. s.o.
--edit2--
Und die Aussage ist nicht, dass man einem Element einfach einen Namen geben muss, sondern sie als Zahl(!) definieren muss! "pi" ist z.B. durch eine Formel definiert, genauso "Wurzel2" usw. Aber darum gehts dem Prof ja gar nicht in erster Linie

[fw]

Ihr redet fast genauso einen Mist wie der Typ in dem Thread :-) SCNR

[O.D.]

Ihr redet fast genauso einen Mist wie der Typ in dem Thread SCNR

Aber eben nur fast

[mugen]

Naja, seine Theorie ist ja schon von vielen geprüft worden und hat es dabei noch nie in eine Fachzeitschrift geschafft, da er die Prüfer nicht hinreichend überzeugen konnte. kb hat sicher recht damit, dass man offen sein sollte für neues, allerdings hat er es wie gesagt noch nie wirklich geschafft die Leute zu überzeugen und naja, er ist wohl was stur

[O.D.]

Dagegen spricht ja auch nichts. Prinzipiell ist der von kb angesprochene Innovationsgedanke auch völlig ok. Nur die Einstellung, man selber habe Recht und alle anderen seien Idioten, finde ich unangebracht.