[LA] Klausur 25.07: Lösungen

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Klausur 25.07: Lösungen

Beitragvon rf91 » 15.08.11 18:15

Hat sie jemand? Auf der Seite gibts ja nur die Aufgaben zum Download.

Gruß
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Re: Klausur 25.07: Lösungen

Beitragvon rf91 » 19.08.11 20:56

Mhm wohl nicht. Kann mir denn jemand bei der ersten Aufgabe helfen? Ich habe mir überlegt, dass die Matrix für n=5 bei zwei kanonischen Basen so aussehen müsste:

( 0 1 0 0 0 )
( 0 0 1 0 0 )
( 0 0 0 1 0 )
( 0 0 0 0 1 )
( 0 0 0 0 1 )

ist also bei nicht näherer Angabe nach der Matrix bezüglich der Standartbasen gefragt? Wäre das Char. Polynom dann X^(n-1) * (X-1) und somit der einzige existierende Eigenwert die 1 mit Vielfachheit n-1?

Gruß
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Re: Klausur 25.07: Lösungen

Beitragvon Imrahil » 20.08.11 08:33

Also, Matrix und char. Polynom müssten richtig sein. Bei der Matrix handelt es sich allerdings um die Abbildungsmatrix bezüglich der b_i Basis.

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des char. Polynoms. => 0 ist Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit n-1 und 1 ist Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 1.
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Re: Klausur 25.07: Lösungen

Beitragvon rf91 » 20.08.11 09:24

Aaaach und welche (Abbildungs-)Matrix ich betrache ist einfach egal weil das Char. Polynom immer das selbe ist?

Ok das mit den Eigenwerten ist klar, da hab ich gestern irgendwie murks geschrieben.
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Re: Klausur 25.07: Lösungen

Beitragvon Imrahil » 20.08.11 09:41

Grundsätzlich ja. Man sollte die Matrix ja nicht noch mal angeben. Ich wüsste aber nicht, welche Abbildungsmatrix man in diesem Fall sonst betrachten sollte. Wichtig ist auch, dass die Abbildungsmatrix keinen Basiswechsel durchführt.
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Re: Klausur 25.07: Lösungen

Beitragvon lucifer » 19.09.11 23:55

Ich stell hier mal meine Lösungen zur Diskussion.

Char. Polynom von Phi (x-1)*(x)^n-1

Eigenwerte + Vielfachheit: 0: n-1 mal, 1: 1 mal

Basen für Eigenräume: < (1,0,0,...,0)^t > (die 0 n mal), ist gleich für c=0 und c=1

Für welches N ist Phi diagonalisierbar? Keines, da man die Matrix aus den Eigenwerten nicht diagonalisieren kann.
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Re: Klausur 25.07: Lösungen

Beitragvon zero_cool » 12.07.12 16:23

hmm, bis dir sicher mit der letzten Antwort? Ich hätte jetzt gesagt, dass mit n = 2 die algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit übereinstimmt und damit wäre \varphi diagonalisierbar. Irgendwie kann ich deine letzte Antwort nicht so ganz nachvollziehen
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