Beweis mit Mengen

[paco89]

hi,

in meinem LA-Buch habe ich einen folgenden Beweis zu folgender aussage gelesen. also zunächst der satz:

"Mengen dürfen sich niemals selbst als Elemente enthalten. Die Gesamtheit der Mengen darf niemals als eine Menge angesehen werden."

An sich ist mir das schon klar. nun gibt das buch paar zeilen weiter einen beweis an:

"Wir betrachten die Gesamtheit aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, als eine Menge an.
also: X := {Mengen A mit A "kein element von" A}
Fragt man sich also, ob X "element von" X oder X "kein element von" X gilt, so erhält man im falle X "element von" X nach defintion von X sofort X "kein element von" X und im falle X "kein element von" X nach defintion X "element von" X.
Es ergibt sich also X "element von" X und X "kein element von" X zugleich, was keinen sinn macht."

so wird der beweis im buch gezeigt. ich habe ihn allerdings nicht verstanden. kann ihn mir jmd. erklären? es scheint sehr logisch zu sein und ich glaube es wird hier auch sehr gut erklärt, nur ich sehe den wald vor lauter bäumen nicht....wieso ergibt sich z.B. X "element von" X und X "kein element von" X zugleich ?

[odrade]

Wichtig zum Verstaendnis ist wahrscheinlich, dass man an sich den Begriff "Menge" beliebig definieren und damit weiterarbeiten kann. Im Allgemeinen nennt sich dass "naive Mengenlehre". Da aber ein solcher naiver Ansatz Probleme/Paradoxa mit sich bringt, arbeitet man mit einer axiomatischen Mengenlehre. (fast immer ZF, siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre)

Die Aussage in deiner Frage ist einer der bekanntesten solchen Widersprueche, die ein naiver Ansatz mit sich bringt. Wichtig ist es zu verstehen, dass diese Aussage fuer naive Mengenlehre ein "Paradox", aber sonst ein "Beweis" oder Beispiel ist, dass keine solche Menge definiert werden kann bzw. Mengen sich selbst nicht enthalten koennen.

Grob gesagt, ZF verbietet es, eine Menge einfach als { Menge X | X kein Element von X } zu definieren. Wie genau ZF axiomatisch dieses Problem vermeidet ist bisschen komplizierter, und du musst es jetzt auch nicht verstehen.

Der Rest, also wie der Beweis gefuehrt wurde, ist eigentlich nur ein einfaches Beispiel, das zeigt, wenn eine solche Definition moeglich waere, ein Widerspruch folgen wuerde. Guck dir einfach diese Definition an: X ist die Menge der Mengen, die sich selbst nicht enthalten. Wir wollen jetzt wissen, ob die Menge X selbst zu X gehoert. Versuche erst mal X gehoert zu X: ein Widerspruch, da falls X zu X gehoert, dann enthaelt er sich selbst, die Menge X ist aber per Definition die Mengen, die sich selbst nicht enthalten. Versuche dann mit der Annahme, dass X nicht zu X gehoert, also X sich selbst nicht enthaelt. Dann muesste aber doch X zu X gehoeren, da X die Menge der Mengen ist, die sich selbst nicht enthalten. Wie du siehst, bekommen wir daraus die Widersprueche, X gehoert zu X => X gehoert nicht zu X, und X gehoert nicht zu X => X gehoert zu X.

[padde]

Vielleicht ist das Babier-Paradoxon etwas anschaulicher: http://de.wikipedia.org/wiki/Barbier-Paradoxon

[paco89]

aso...danke für den link mit dem barbier.....wenn doch alle mathematischen sachen anhand solcher beispiele erklärt werden würden....anstatt mit irgendwelchen hieroglyphen, die normalos nich vestehen.....


vielen dank....habs jetzt gerafft....