[LA] Determinante eines Endomorphismus

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Determinante eines Endomorphismus

Beitragvon Domestos » 27.09.09 13:21

Ich habe mit der folgenden Aufgabe ein Problem. ( 1. Klausur 2007)
Aufgabe5.
Es sei \varphi:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2 der Endomorphismus mit \varphi:\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}-1/5\\7/5\end{pmatrix} und \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}-7/5\\-1/5\end{pmatrix}
a) Bestimmen Sie die Determinante von \varphi.
b) Geben Sie die Abbildungsmatrix von \varphi bzgl. der Standardbasis an.
...


Die beiden Aufgabenteile zu lösen ist kein Problem, aber ich weiß nicht ob ich das richtig mache.
Für die Aufgabe a) berechne ich mir die Abbildungsmatrix und damit die Determinante. Da aber Aufgabenteil b) danach verlangt die Abbildungsmatrix zu berechnen, bin ich mir nicht sicher ob das die richtige Methode ist. Bei größeren Endomorphismen würde die Methode mit der Abbildungsmatrix vielleicht auch zu lange dauern.

Die Frage ist also: Gibt es eine Möglichkeit die Determinante eines Endomorphismus, ohne die Abbildungsmatrix, zu berechnen?( Am besten etwas was in LA1 auch schon dran kam :P)
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Beitragvon Trinova » 27.09.09 15:48

Bei a hast du als Basis (1,1) und (1,-1)
bei b sollst du aber die Abbildungsmatrix bzgl. der Standartbasis (1,0) (0,1) angeben, wenn ich das richtig verstehe.
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Beitragvon HE » 27.09.09 16:41

Um das etwas vollständiger auszuführen:

Für (a) reicht eine Abbildungsmatrix für irgendeine Basis (z.B., hm, (1,1) und (1,-1) bietet sich da an). Das geht, weil die Determinante unabhängig von der gewählten Basis ist (zur Not mit Determinantenmultiplikationssatz und Wissen über Basiswechselsatz: TAT^{-1} = A' => det(T) * det(A) * det(T^{-1}) = det(A') <=> det(T) * det(A) * det(T)^{-1} = det (A') <=> det(A) = det(A'))

Für (b) ist explizit die Matrix für die Standardbasis gefordert. Hier musst du die Arbeit machen, die bei (a) noch optional war.

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Beitragvon zorgblaubaer » 27.09.09 18:50

bist du dir da sicher? ich kriege für die standartbasis eine determinante von -1 und für die basis aus (1,1) und (1,-1) eine determinante von 2..
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Beitragvon freiplatzzokker » 27.09.09 21:23

Da es sich bei der Matrix um eine Spiegelung handelt, sollte die Determinante bezüglich der Standardbasis auch -1 sein. Ist ja auch orthogonal, wie man sieht.

Für die Determinante von \varphi(X) sieht 2 aus wie die richtige Wahl.

\begin{pmatrix}-1/5 & -7/5\\7/5 & -1/5\end{pmatrix}

= 1/25 + 49/25 = 50/25 = 2
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Beitragvon MartinL » 28.09.09 09:45

Irgendwas stimmt da nicht ... HE hat doch gezeigt warum die Determinante unter Basiswechsel unverändert bleibt. Das muss schon gelten.

Deine Abbildungsmatrix ist falsch, da sie zwar die (1 1) (1 -1) als Ausgangsbasis benutzt aber nicht als Zielbasis. Du stellst die Vektoren wieder bezüglich der Standardbasis dar. Du musst sie jedoch auch bezüglich (1 1) und (1 -1) darstellen. Dann sollste auch die Determinante stimmen.
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Beitragvon tromba_marina » 28.09.09 16:46

MartinL hat geschrieben:Deine Abbildungsmatrix ist falsch, da sie zwar die (1 1) (1 -1) als Ausgangsbasis benutzt aber nicht als Zielbasis. Du stellst die Vektoren wieder bezüglich der Standardbasis dar. Du musst sie jedoch auch bezüglich (1 1) und (1 -1) darstellen. Dann sollste auch die Determinante stimmen.


Konkret: ist S die Standardbasis und B die Basis aus (1,1) und (1,-1), dann ist \begin{pmatrix}-1/5&-7/5\\7/5&-1/5\end{pmatrix} = {^S}\varphi^B.

Multipliziere von rechts mit der Basiswechselmatrix {^B}id^S, um {^S}\varphi^S zu erhalten. Aus LA1 bekannt: {^B}id^S = (^Sid^B)^{-1} = \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1/2&1/2\\1/2&-1/2\end{pmatrix}.

Also: ^S\varphi^S = \begin{pmatrix}-1/5&-7/5\\7/5&-1/5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1/2&1/2\\1/2&-1/2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4/5&3/5\\3/5&4/5\end{pmatrix}. Die Determinante ist -1.

Alternativ kann man auch ^B\varphi^B = {^Bid^S}\cdot{{^S}\varphi^B} berechnen, aber in der Aufgabe ist ja explizit auch nach der Abbildungsmatrix bzgl. S gefragt, also ist das nicht so sinnvoll.

Wären die Bilder von \varphi nicht in S, sondern in einer dritten Basis C gegeben, dann ist die Lösung auch nicht viel schwieriger: man braucht {^B}id^C = {^Bid^S}\cdot{^Sid^C} = {^Sid^B}^{-1}\cdot{^Sid^C}, um ^B\varphi^B zu berechnen, aus der man dann die Determinante ablesen kann.
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Beitragvon Purzelbaum » 29.09.09 00:53

Ist dann die Spiegelachse (-2, 1) ?

//edit:

Also V(1,A) bzw. V(1, {^S}\varphi^S) = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} ?
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