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Probeklausur

Beitragvon Domestos » 26.07.09 17:56

Bei folgender Frage komme ich nicht auf die Lösung:

"Anzahl der 1-dimensionalen Unterräume von \mathbb{F}_3^4"

Irgendwie habe ich da was nicht ganz verstanden, denn für mich würde jeder einzelne Vektor aus \mathbb{F}_3^4 einen Unterraum bilden können. Die Lösung ist aber 4.
Zum Beispiel hätte ich gedacht, dass es diese 5 Unterräume gibt:

\left\langle\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\right\rangle<br />,\left\langle\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}\right\rangle<br />,\left\langle\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}\right\rangle<br />,\left\langle\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}\right\rangle<br />,\left\langle\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}\right\rangle

Schonmal danke für alle Antworten :P
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Beitragvon MartinL » 26.07.09 18:01

Sicher, dass die Lösung nicht 40 ist?

Insgesamt gibt es in dem Vektorraum 3^4 = 81 Vektoren.

Zieht man den Nullvektor ab, sind es noch 80. Davon sind immer 2 linear Abhänhig zueinander (Skalarmultiplikation mit 2). Also spannt die hälfte unabhängige Unterräume auf. Das sind dann 40 Stück. Die 5 die du genannt hast sind ja auch verschiedene.
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Beitragvon Domestos » 26.07.09 18:14

Hm ok sowas hab ich mir auch gedacht.
Das Problem war mehr, wie man das Ergebnis einträgt:
Bild
Es war also eine MC Aufgabe. Habe aber gedacht, dass man mit den angekreuzten Zahlen auch die Lösung bilden kann. Aber es gab keine 0 zum Ankreuzen.
Aber wenn man die Aufgabenstellung nochmal liest wirds klar^^
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Beitragvon Domestos » 26.07.09 18:21

Da einem ja so schnell geholfen wird direkt noch eine Frage:

Bild
Bild

Sowohl \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} als auch \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} sind Elemente des Kerns. Die Lösung ist aber E also 4.
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Beitragvon alpha » 26.07.09 21:18

Ich denke die Frage war einfach dazu da um Punkte zu verschenken, denn die 0 Matrix ist direkt die Lösung, weil bei einer Linearen Abb. ja die 0 immer auf die 0 abgebildet wird.

Du musstest also nur Einträge der entsprechenden Input-Matrix zählen und alle 0 setzen.
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