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allgemeine Fragen

Beitragvon paul » 26.07.09 14:20

Hallo zusammen,

wir haben in der Vorlesung folgende Definition gehabt:

A, B \in K^{n \mathrm{x} n} heißen ähnlich, wenn ein T \in GL_n(K) existiert mit B = T^{-1}  A  T

Wie kann ich dieses T bestimmen?

Ist diese Defintion äquivalent zu:
A und B sind gauß-äquivalent ??

Danke im Voraus für die Hilfe.
paul
 
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Beitragvon SpatzenArsch » 26.07.09 15:40

Hi,

du kannst beide zum Beispiel auf Jordan-Normalform bringen. Wenn beide die gleiche Jordan-NF haben, dann sind sie auch ähnlich. Die entsprechenden Matrizen bekommst du dann aus
T_1^{-1}AT_1=J=T_2^{-1}BT_2
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Beitragvon fw » 26.07.09 15:57

Da man die Jordanform in LA1 normalerweise nicht macht: Falls die Matrizen diagonalisierbar sind, dann sind sie genau dann ähnlich, wenn sie zur gleichen Diagonalmatrix ähnlich sind. Die Transformationsmatrizen für die Diagonalisierungen liefern dir dann dein T (wie genau sollte klar sein, wenn du es einmal kurz hinschreibst).

Zu deiner zweiten Frage.. Wie habt ihr Gauss-äquivalent definiert? Zwei Matrizen sind gauss-äquivalent, wenn die eine durch elementare Zeilenumformungen aus der anderen hervorgeht? Falls ja, dann ist die Antwort "Nein". Z.B. sind \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) und die 2x2 Einheitsmatrix "gauss-äquivalent", aber nicht ähnlich (denn die erste ist nicht diagonalisierbar, die zweite offensichtlich schon).
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Beitragvon paul » 26.07.09 16:24

ja genau so haben wir Gauss-äquivalent definiert.

Leider helfen mir die bisherigen Erklärungen nicht wirklich zu verstehen, wann genau zwei Matrizen ähnlich sind und wie man dieses T bestimmt.
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Beitragvon fw » 26.07.09 16:33

Die Antwort auf deine Frage ist: "Das geht nicht so einfach. Jedenfalls nicht mit LA1 Methoden". Im Spezialfall von diagonalisierbaren Matrizen geht es allerdings schon.

Angenommen du hast zwei Matrizen A und B. Wenn die jetzt beide diagonalisierbar sind und ähnlich zur gleichen Diagonalmatrix, d.h. wenn es ein T_1 gibt, mit T_1^{-1} A T_1 = D und ein T_2 mit T_2^{-1} B T_2 = D, dann sind A und B bereits ähnlich, denn dann ist \underbrace{T_2 T_1^{-1}}_{=: T^{-1}} A \underbrace{T_1 T_2^{-1}}_{=: T} = B. Es reicht natürlich, wenn die Einträge von den jeweiligen Diagonalmatrizen gleich sind. Die Reihenfolge muss nicht gleich sein. Durch ändern der Reihenfolge der Eigenvektoren in dem jeweiligen T, kriegt man das dann trotzdem hin.

Jetzt klarer? :-)
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Beitragvon mani » 26.07.09 16:48

Hallo zusammen,

sorry, dass ich den Thread ninja, aber hab genau dazu ne weiterführende Frage. Wenn ich jetzt eine Diagonalmatrix gegeben habe zum Beispiel:
D:=<br />\left( \begin{array}{ccc}<br />3 & 0 & 0 \\<br />0 & 2 & 0 \\ <br />0 & 0 & 5 \\<br />\end{array}\right) und ein A:=<br />\left( \begin{array}{ccc}<br />6 & 1 & 2 \\<br />3 & 2 & 2 \\ <br />1 & 3 & 15 \\<br />\end{array}\right)
und ich jetzt gerne wissen würde, ob es ein T gibt, so dass T^{-1}AT = D
Muss ich jetzt versuchen A zu diagonalisieren und dann gucken ob D und A ähnlich sind oder kann ich direkt versuchen das T zu bestimmen?
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Beitragvon paul » 26.07.09 16:53

Leider nicht wirklich :(

Mal angenommen es kommt die Aufgabenstellung:
"Sind A und B ähnlich?"

Muss ich mich dann auf die Suche nach einer solchen Matrix T begeben, oder gibt es da auch andere Vorgehensweisen?
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Beitragvon fw » 26.07.09 16:54

mani hat geschrieben:D:=<br />\left( \begin{array}{ccc}<br />3 & 0 & 0 \\<br />0 & 2 & 0 \\ <br />0 & 0 & 5 \\<br />\end{array}\right) und ein A:=<br />\left( \begin{array}{ccc}<br />6 & 1 & 2 \\<br />3 & 2 & 2 \\ <br />1 & 3 & 15 \\<br />\end{array}\right)


In diesem speziellen Fall ist es einfach: Eigenwerte von A ausrechnen. Wenn die genau 3, 2 und 5 sind, dann ist die Antwort "ja", sonst "nein" (Achtung: Das funktioniert NICHT immer! Das klappt hier, weil du das D schon kennst und es drei paarweise verschiedene Diagonaleinträge sind!)
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Beitragvon fw » 26.07.09 16:56

paul hat geschrieben:Muss ich mich dann auf die Suche nach einer solchen Matrix T begeben, oder gibt es da auch andere Vorgehensweisen?

Es gibt ein paar K.O. Kriterien, die dir die Suche einfacher machen könnten. Z.B. haben ähnliche Matrizen die gleichen Eigenwerte, das gleiche charakteristische Polynome, die gleiche Spur, die gleiche Determinante, den gleichen Rang, etc. etc.. Wenn irgendeins davon nicht stimmt, dann kannst du bereits sagen, dass sie NICHT ähnlich sind (andererseits: wenn alles stimmt, weisst du garnichts :-)).
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Beitragvon mani » 26.07.09 16:58

Aber einen Algorithmus außer Bruteforce scheint es nicht zu geben das T herauszufinden? :?
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Beitragvon paul » 26.07.09 16:59

ok immerhin etwas :wink:
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Beitragvon fw » 26.07.09 17:03

mani hat geschrieben:Aber einen Algorithmus außer Bruteforce scheint es nicht zu geben das T herauszufinden? :?

Wie oben bereits mehrmals gesagt: Doch, für den Spezialfall diagonalisierbarer Matrizen schon. Im Allgemeinen geht das, wie SpatzenArsch gesagt hat, über die sogenannte Jordansche Normalform (eine Art Verallgemeinerung von Diagonalisierung).
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Beitragvon errrso? » 26.07.09 17:20

fw hat geschrieben:
mani hat geschrieben:Aber einen Algorithmus außer Bruteforce scheint es nicht zu geben das T herauszufinden? :?

Wie oben bereits mehrmals gesagt: Doch, für den Spezialfall diagonalisierbarer Matrizen schon. Im Allgemeinen geht das, wie SpatzenArsch gesagt hat, über die sogenannte Jordansche Normalform (eine Art Verallgemeinerung von Diagonalisierung).


Was wir aber für diese Klausur nicht können müssen?
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Beitragvon paul » 26.07.09 17:26

Nur ggf. für diagonalisierbare Matrizen. Die Jordansche Normalform kam ja nicht in der Vorlesung vor.
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Beitragvon HE » 27.07.09 10:48

errrso? hat geschrieben:
fw hat geschrieben:
mani hat geschrieben:Aber einen Algorithmus außer Bruteforce scheint es nicht zu geben das T herauszufinden? :?

Wie oben bereits mehrmals gesagt: Doch, für den Spezialfall diagonalisierbarer Matrizen schon. Im Allgemeinen geht das, wie SpatzenArsch gesagt hat, über die sogenannte Jordansche Normalform (eine Art Verallgemeinerung von Diagonalisierung).


Was wir aber für diese Klausur nicht können müssen?


Richtig. Die Jordansche Normalform ist Stoff von LA2.
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