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Beitragvon odrade » 27.07.09 20:37

Die Idee ist, dass eine bijektive Abbildungsmatrix vollen Rang hat.
Mit der angegeben Abbildungsmatrix Gauss durchfuehren, in Zeilenstufenform bringen. In der letzten Zeile kommt dann z.B. 0 0 a+7. Fuer a = -7 waere dann Rang nicht voll, und damit die Abbildung nicht bijektiv.
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Beitragvon Purzelbaum » 27.07.09 22:42

Das ist ja noch recht easy.

Wie geh ich denn in dieser Aufgabe weiter vor?

Berechnen Sie dann für diesen speziellen Wert a eine Matrix B so, daß die lineare Abbildung ψ : R3 → R3, x → Bx als Kern genau Imϕ a hat
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Beitragvon mani » 27.07.09 23:22

Hab ich mich auch gefragt,
hab a = -7 eingesetzt, dann die Matrix A transponiert, Gauß angewendet.
Ich hatte dann in der letzten Spalte transponiert das stehen, was eingetragen war, aber so richtig verstanden hab ichs nicht und ein richtiges B hatte ich auch nicht raus.
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Beitragvon Purzelbaum » 27.07.09 23:35

Eben, macht man es für die Gruppe B Aufgaben, funktioniert nur transponieren und ablesen nicht.
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Beitragvon minuq » 27.07.09 23:44

Ihr geht hin und bestimmt das Bild von \varphi. Das ist \langle \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\5\\-7\end{pmatrix}\rangle.
Die Lösung für B ist die Lösung der 3 Gleichungen:
1\cdot x_1+1\cdot x_2+1 \cdot x_3 = 0\\<br />2\cdot x_1+3\cdot x_2+(-1)\cdot x_3 = 0\\<br />2\cdot x_1+5\cdot x_2+(-7)\cdot x_3=0
Das, was ihr als Lösung des LGS erhaltet ist eure Lösung. Da x_1, x_2,x_3 nur in Abhängigkeit bestimmbar sind müsst ihr eins davon setzen, wie man das am besten macht sieht man am Ende des Lösungsweges.
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Beitragvon mani » 28.07.09 00:15

Ja genauso hab ichs ja gemacht, die Frage ist, warum funktioniert das? :roll:
Bei der zweiten Gruppe hab ich \begin{pmatrix}-3\\-2\\-1\end{pmatrix} raus und es soll laut Musterlösung \begin{pmatrix}5\\-2\\-1\end{pmatrix} rauskommen ?!
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Beitragvon DEserrt » 28.07.09 00:29

Hm ist das nicht das selbe wie bei den linearen Codes? Also enweder normal den Nullraum bestimmen oder eben A transponieren und dann den Nullraum von der transponierten Matrix bestimmen?
Die Erklärung dafür ist ja das Lemma, auf das mich jemand im anderen Thread hingewiesen hat =)

Edit: Achso, das Bild von phi ist ja der Spaltenraum.
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Beitragvon Purzelbaum » 28.07.09 00:37

minuq hat geschrieben:Ihr geht hin und bestimmt das Bild von \varphi. Das ist \langle \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\5\\-7\end{pmatrix}\rangle.

Man könnte jetzt meinen das Bild würde man nur einfach anhand der Spalten der Abbildungsmatrix ablesen, aber das stimmt doch nicht immer oder?
Nur weil wir \varphi_a(x) = Matrix \cdot x haben. Und wir setzten für x nacheinander \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},  \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} und \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} also immer die Standard-Basen (bzw. Erzeugendensysteme?) des Vektorraums ein und berechnen dafür die Abbildung oder?
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Beitragvon fw » 28.07.09 07:46

Purzelbaum hat geschrieben:Man könnte jetzt meinen das Bild würde man nur einfach anhand der Spalten der Abbildungsmatrix ablesen, aber das stimmt doch nicht immer oder?

Doch, das Bild einer linearen Abbildung (auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum) ist gleich dem Spaltenraum der Abbildungsmatrix (aufpassen musst du eventuell nur, wenn du das Bild bzgl. einer anderen Basis angeben sollst).
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Beitragvon Domestos » 28.07.09 10:39

mani hat geschrieben:Ja genauso hab ichs ja gemacht, die Frage ist, warum funktioniert das? :roll:
Bei der zweiten Gruppe hab ich \begin{pmatrix}-3\\-2\\-1\end{pmatrix} raus und es soll laut Musterlösung \begin{pmatrix}5\\-2\\-1\end{pmatrix} rauskommen ?!

Hm also ich komm aufs richtige Ergebnis:
1\cdot x_1+ 2\cdot x_2+1\cdot x_3 = 0\\<br />1\cdot x_1+ 3\cdot x_2 - 1\cdot x_3 = 0\\<br />2\cdot x_2+ 5\cdot x_2 + 0\cdot x_3 = 0\\

1.) Aus der 3. Gleichung folgt: x_1=-\frac{5}{2}\cdot x_2
2.) Aus der 1. Gleichung folgt: x_3=\frac{1}{2}\cdot x_2

Nun sollte man noch mit der 2. Gleichung überprüfen ob das so stimmt und dann hat mans ja schon. x_2 kann man frei bestimmen und hat ein Ergebnis.
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