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von **errrso?** » 25.07.09 20:17

Hi,

ich hab eine Frage zu Aufgabe 5b aus der Klausur 2008 2ter Versuch(http://www2.math.rwth-aachen.de:8039/oldexams/2008_2-lsg.pdf):

Ich hab mir zu der $\phi$ -Funktion eine Abbildungsmatrix gemacht:

$M_{\phi}^{B} := \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ wo bei B die Standartbasis mit e1, e2, e3, e4 ist (Die Matrix von links nach rechts und dann von oben nach unten gelesen). Bei Aufgabe a habich mit dieser Matrix auch das richtige Ergebniss gekriegt. (Einfach $\kappa_{B}^{-1}(\mathbb{L}_{0})$ bestimmt)

Zu Aufgabe b) : Im Skript steht $Im(\phi_{A})=SR(A)$ . Also bestimme ich den Spaltenraum von $M_{\phi}^{B}$ . Es lässt sich leicht sehen, dass das $<\left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ -1 \end{array} \right),\left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1\\ 0 \end{array} \right)>$ ist. Das stimmt jetzt leider nicht mit der Musterlösung überein. Der obere Eintrag des ersten Basisvektor ist bei mir positiv und bei der Lösung negativ.

Was mach ich falsch?

Jo

von fw » 25.07.09 20:28

Du machst nichts falsch, soweit ich das sehe. In der Lösung steht ja auch: "Je zwei linear unabhaengige Elemente aus Im phi bilden also eine Basis von Im phi". Die Lösung ist nicht eindeutig.

Gruss, Florian

von **errrso?** » 25.07.09 20:50

Hi,

Danke erstmal für die Antwort.

Aber "spannen" denn $<\left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ -1 \end{array} \right),\left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1\\ 0 \end{array} \right)>$ und $<\left( \begin{array}{c} -1\\ 0\\ 0\\ -1 \end{array} \right),\left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1\\ 0 \end{array} \right)>$ den gleichen Raum auf?

Jo

von fw » 25.07.09 20:50

Nein. Vielleicht ist deine Abbildungsmatrix falsch?

von **errrso?** » 25.07.09 21:45

Naja zur Aufgabe a) gibt es aber genau die richtige Lösung mit meiner Abb.-Matrix.

von **tromba_marina** » 25.07.09 22:51

Die MuLö ist falsch. Es gilt \varphi([[0,-1],[0,0]])=[[-1,0],[0,1]]. Einfach mal a=c=d=0, b=-1 in die Formel (1) in der Lösung einsetzen, dann sieht man das direkt. Deine Basis des Spaltenraums ist richtig.

von **Purzelbaum** » 26.07.09 17:20

Habe eine Frage zur gleichen Klausur: http://www2.math.rwth-aachen.de:8039/ol ... 2008_2.pdf
(Lösung: http://www2.math.rwth-aachen.de:8039/ol ... 2008_2.pdf)

Aufgabe 2:
Bestimmung des Charakteristische Polynom von

$A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix}$

Ich komme nur auf:
$\det(x \cdot E_3 -A) = \begin{vmatrix} x-2 & -4 & -2 \\ -4 & x-3 & -1 \\ -2 & -4 & x-3 \\ \end{vmatrix}$

Ich weiß, wie reden von $\mathbb{F}_5$ trotzdem weiß ich nicht wie man da auf:

$\det(x \cdot E_3 -A) = \begin{vmatrix} x-2 & 1 & -2 \\ 1 & x+2 & -1 \\ -2 & 1 & x+2 \\ \end{vmatrix}$

kommen soll

von **j0n1** » 26.07.09 17:28

Du weißt ja was $\mathbb{F}_5$ ist. Da hast du die Elemente 0,1,2,3,4. Du mit diesen darfste rechnen. Also wenn z.B. -2 vorkommt addierst 5 solange drauf bis du wieder in $\mathbb{F}_5$ landest. bzw. bei 7 substrahieren.

-2 ist in $\mathbb{F}_5$ 3
7 in $\mathbb{F}_5$ ist 2

Das wars. Und das charakteristische Polynom rechnest du ganz normal aus...nur immer $\mathbb{F}_5$ beachten !

von **Purzelbaum** » 26.07.09 17:34

Wieso tauchen dann in der Musterlösung immer noch negative Werte auf?
-1 und -2 bleiben stehen. Aus -4 wird +1. Aus -3 +2.
Nur wieso der Mischmasch? Gibts da eine Regel oder Sinn?

von **j0n1** » 26.07.09 17:42

Das finde ich auch ein bisschen verwirrend, aber ich gehe so vor: Solange eine Zahl auftaucht, die nicht in $\mathbb{F}_5$ liegt, rechne ich die gleich um. So kannste nichts Falsches machen.

von **mani** » 26.07.09 17:55

Man kann natürlich erstmal so tun als würde man in $\mathbb{R}$ rechnen und erst zum Schluss das Ergebnis dann für $\mathbb{F_5}$ umrechnen.

von **Purzelbaum** » 27.07.09 13:11

Hab eine Frage zu
( http://www2.math.rwth-aachen.de:8039/ol ... _2-lsg.pdf )
Aufgabe 5a)

Wie kommt man auf genau diesen Kern?

$Ker \varphi = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$ ?

//edit

Hat sich wohl erledigt... man setzt sehr wahrscheinlich in der X Matrix die entsprechenden Voraussetzungen ein, c = -b, d=a

d'oh

von **odrade** » 27.07.09 13:55

Purzelbaum hat geschrieben:Wieso tauchen dann in der Musterlösung immer noch negative Werte auf?
-1 und -2 bleiben stehen. Aus -4 wird +1. Aus -3 +2.
Nur wieso der Mischmasch? Gibts da eine Regel oder Sinn?

Kein Regel, aber der Sinn dahinter ist, ich glaube, dass es die Rechnung von det vereinfacht. Also so arrangiert, so dass es nur -2, -1, 0, 1, und 2's stehen und damit das Vertauschen/Kombineren einfacher ist. Die negative Werte sind ja auch keine Koerperelemente, nur eine Kurzschreibweise von (0-1) usw.

Und zum Kern: Ja, das stimmt so, aber das kannst du auch mit "Brute Force" ausrechnen. Bilder von Basiselementen rechnen, Abbildungsmatrix aufstellen, und dann Nullraum davon angeben.

von **nesta04** » 27.07.09 20:20

ich hab eine Frage zu Klausur:

http://www2.math.rwth-aachen.de:8039/ol ... 2007_1.pdf

Aufgabe 4:

wie kann man a rechnen,damit fi nicht bijektiv ist.

Vielen Dank.

von **paul** » 27.07.09 20:36

$\phi_a$ ist nicht bijektiv $\Leftrightarrow$ die (Abbildungs-)Matrix nicht vollen Rang hat.

Also z.B. bisschen Gauß machen und dann schauen für welche a die Matrix nicht vollen Rang hat.

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