[LA] Ganz blöde Frage, aber ich komm einfach nicht drauf

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Ganz blöde Frage, aber ich komm einfach nicht drauf

Beitragvon alpha » 22.07.09 13:13

Hi,

bin gerade bei der alten LA für Informatiker Klausur von 2007 (2) und bei der Aufgabe 2.

1 1 1
0 1 1
1 0 1
0 0 0
1 1 0

Die Frage ist wie groß der Spaltenraum dieser Matrix ist und die Lösung ist 8.

Meine Probleme sind die, dass ich die Lösung nur durch kombinatorisches Nachrechnen bekomme und gerne wissen würde, ob es dafür eine Art Formel gibt z.B. (Anzahl der Elemente im Körper)^Rang(A) oder so.

Mag eine kleine Sache sein, aber in der Klausur hätte mich das jetzt richtig aufgehalten. :?
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Beitragvon ozehka » 22.07.09 14:05

Die Spalten von G sind linear unabhängig. Der Spaltenraum besteht aus allen Linearkombinationen \sum \limits_{i=1}^3\lambda_i G_i der drei Spalten, das heißt wir zählen einfach wie viele mögliche Koeffizienten (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) \in \mathbb{Z}_2^3 es gibt.

Das sind genau |\mathbb{Z}_2^3| = |\mathbb{Z}_2|^3 = 2^3 = 8 viele.
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Beitragvon alpha » 22.07.09 14:26

Danke erstmal für die Antwort. :-)

Das würde doch dann heißen die Formel die ich oben "vermutet" habe könnte man einsetzen?

Z_2 hat 2 Möglichkeiten und ich müsste dann nur schauen welchen Rang die Matrix G hat?
Wäre auch 2^3 = 8, aber gilt es allgemein?
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Beitragvon fw » 22.07.09 14:36

Ja, für einen endlichen Körper K mit |K|=m hat ein K-Vektorraum der Dimension n genau m^n Elemente (denn es gilt der schöne Satz: Jeder n-dimensionale K-Vektorraum ist isomorph zu K^n).
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