infostudium.de

von **chrisblablub** » 02.02.09 15:18

hi,

in der global übung wirde gesagt das lim a_n = lim a_n+1 gilt für n->oo.
Weiter soll aber lim[ a_n+1 / a_n ] = 1 nich gelten. Warum denn das nich? kann mir das jmd erklärn?

mfg chris

von **MartinL** » 02.02.09 15:57

Wenn ich grad mal überlege, so fällt mir spontan ein, dass

$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$ auch -1 sein kann.

Beispiel: $a_n := (-1)^n \frac{1}{n}$

Dann ist

$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^{n+1} \frac{1}{n+1}}{(-1)^n \frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty} - \frac{n}{n+1} = -1$

Gruß,

Martin

von fw » 02.02.09 22:12

chrisblablub hat geschrieben:Weiter soll aber lim[ a_n+1 / a_n ] = 1 nich gelten. Warum denn das nich?

Ich schätze mal du verwechselst $\frac{\lim\ a_{n+1}}{\lim\ a_n}$ mit $\lim\ \frac{a_{n+1}}{a_n}$ .

von **mirko** » 02.02.09 23:16

chrisblablub hat geschrieben:hi,

in der global übung wirde gesagt das lim a_n = lim a_n+1 gilt für n->oo.
Weiter soll aber lim[ a_n+1 / a_n ] = 1 nich gelten. Warum denn das nich? kann mir das jmd erklärn?

mfg chris

ganz einfach (vollkommen informal, aber hoffentlich verständlich

):

lim a_n ist quasi das element a_oo, also ein element von "möglichst weit hinten" in deiner folge, bzw formal: der grenzwert der folge

lim a_n+1 ist quasi das element a_{oo+1} - aber logischerweise gilt: unendlich + 1 = unendlich (was bringt es mir, wenn ich nach dem ende noch eins dazu tu, wenn ich das ende sowieso nie erreiche?)

aber, zum thema lim[ a_n+1 / a_n ] - stell dir vor, du hast eine folge, in der die zahl in jedem schritt halbiert wird (1/(2^n)) - nun suchst du dir zwei beliebige aufeinander folgende elemente. du wirst feststellen, dass a_{n+1} / a_n immer != 1 ist. wenn du nun also eine unendliche folge dieser brüche betrachtest, und davon ein element von "möglichst weit hinten", wird das niemals 1 sein. also lim[ a_n+1 / a_n ]!=1

mfg

mirko

von **user** » 03.02.09 20:37

Das ist grober Unfug, mirko.

von **mirko** » 03.02.09 20:49

user hat geschrieben:Das ist grober Unfug, mirko.

dass es informal ist, hab ich ja selbst schon gesagt - ich wollte mehr eine intuition geben... - inwiefern es unfug ist, musst du mir aber erklären...

von **Muffi** » 04.02.09 10:15

mirko hat geschrieben:
user hat geschrieben:Das ist grober Unfug, mirko.

dass es informal ist, hab ich ja selbst schon gesagt - ich wollte mehr eine intuition geben... - inwiefern es unfug ist, musst du mir aber erklären...

Betrachte eine konstante Folge. Deine Aussage ist pulverisiert (nicht nur für diesen Fall übrigens).

Ich bin mir ziemlich sicher, dass fw Recht hat.

von **mirko** » 04.02.09 16:04

chrisblablub hat geschrieben:Weiter soll aber lim[ a_n+1 / a_n ] = 1 nich gelten.

Muffi hat geschrieben:Betrachte eine konstante Folge.

hä? entweder hab ich wirklich etwas komplett nicht verstanden, oder deine aussage passt nicht wirklich zum thread-titel. für eine konstante folge gilt doch "lim[ a_n+1 / a_n ] = 1" oder nicht?

unabhängig davon, weiß ich nicht, in wie weit das meine aussage kaputt machen sollte:

mirko hat geschrieben:lim a_n ist quasi das element a_oo, also ein element von "möglichst weit hinten" in deiner folge, bzw formal: der grenzwert der folge

lim a_n+1 ist quasi das element a_{oo+1} - aber logischerweise gilt: unendlich + 1 = unendlich (was bringt es mir, wenn ich nach dem ende noch eins dazu tu, wenn ich das ende sowieso nie erreiche?)

bis hierhin sehe ich keinen widerspruch...

mirko hat geschrieben:aber, zum thema lim[ a_n+1 / a_n ] - stell dir vor, du hast eine folge, in der die zahl in jedem schritt halbiert wird (1/(2^n)) - nun suchst du dir zwei beliebige aufeinander folgende elemente. du wirst feststellen, dass a_{n+1} / a_n immer != 1 ist. wenn du nun also eine unendliche folge dieser brüche betrachtest, und davon ein element von "möglichst weit hinten", wird das niemals 1 sein. also lim[ a_n+1 / a_n ]!=1

hier beziehe ich mich auf das beispiel der folge "1/(2^n)" - dass du da ein anderes beispiel bringst, für die meine aussage nicht gilt, ist schön, aber es ging doch darum, zu zeigen, dass das komplement meiner aussage keine allgemeingültigkeit besitzt. dass es in ausnahmefällen gilt, ist ja schön, aber irrelevant...

mfg

mirko

von **DEserrt** » 04.02.09 16:16

Hä, jetzt bin ich verwirrt. Heißt lim an+1 nicht, dass die Folge um ein Glied nach rechts verschoben ist. Ich bei der Folge 1/n also nicht mehr 1, 1/2, 1/3..., sondern 1/2, 1/3,.... habe?
Wieso unendlich + 1?

von **mirko** » 04.02.09 16:41

a_n ist das n-te glied der folge

a_n+1 ist somit das (n+1)-te glied der folge
(ich nehme mal an, gemeint ist a_{n+1} und nicht {a_n}+1)...

die folge an sich ändert sich also nicht, man greift nur auf ein element aus der folge zu...

von **MaoDelinSc** » 04.02.09 18:48

DEserrt hat geschrieben:Hä, jetzt bin ich verwirrt. Heißt lim an+1 nicht, dass die Folge um ein Glied nach rechts verschoben ist. Ich bei der Folge 1/n also nicht mehr 1, 1/2, 1/3..., sondern 1/2, 1/3,.... habe?
Wieso unendlich + 1?

Jo, heißt es.

Aber 1/n und 1/(n+1) konvergieren ja beide gegen 0, und bei jeder anderen Folge konvergieren an und an+1 auch beide gegen dasselbe, also lim an = lim an+1 und damit, wie fw sagte lim an / lim an+1 = 1 und das immer (bei konvergenten Folgen).

Jedoch gilt dies für lim an/an+1 nicht, wie mirkos Beispiel zeigt und wieso das Unfug sein sollte, ist mir nicht klar^^

Bei DEserrts Bsp wäre das lim (1/n) / (1/(n+1)) = lim (n+1)/n = 1, bei mirkos Bsp jedoch lim (1/(2^n)) / (1/(2^n+1)) = lim (2^(n+1)) / (2^n) = lim 2 = 2

Es kann also durchaus auch 1 rauskommen, muss es aber nicht

Also hat chris das wahrscheinlich verwechselt, so wie fw gesagt hatte...

von **mirko** » 04.02.09 19:38

MaoDelinSc hat geschrieben:
DEserrt hat geschrieben:Hä, jetzt bin ich verwirrt. Heißt lim an+1 nicht, dass die Folge um ein Glied nach rechts verschoben ist. Ich bei der Folge 1/n also nicht mehr 1, 1/2, 1/3..., sondern 1/2, 1/3,.... habe?
Wieso unendlich + 1?

Jo, heißt es.

dann musst du aber konsequenterweise auch sagen, dass sich die welt unter'm auto wegdreht

prinzipiell kannst du dir das natürlich auch so vorstellen... - die frage ist dann nur, was du bei a_{n-1} machst...

MaoDelinSc hat geschrieben:Aber 1/n und 1/(n+1) konvergieren ja beide gegen 0, und bei jeder anderen Folge konvergieren an und an+1 auch beide gegen dasselbe, also lim an = lim an+1 und damit, wie fw sagte lim an / lim an+1 = 1 und das immer (bei konvergenten Folgen).

Jedoch gilt dies für lim an/an+1 nicht, wie mirkos Beispiel zeigt und wieso das Unfug sein sollte, ist mir nicht klar^^

Bei DEserrts Bsp wäre das lim (1/n) / (1/(n+1)) = lim (n+1)/n = 1, bei mirkos Bsp jedoch lim (1/(2^n)) / (1/(2^n+1)) = lim (2^(n+1)) / (2^n) = lim 2 = 2

Es kann also durchaus auch 1 rauskommen, muss es aber nicht

dem kann ich soweit uneingeschränkt zustimmen...

von **DominikP** » 06.02.09 17:26

Bitte benutzt LaTeX, das macht die Sache viiiieeel lesbarer.

Ich bin mir gar nicht sicher, was überhaupt der Ursprung dieses Threads war.

Es soll gelten:
$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_{n+1}}$

Jedoch soll nicht (immer) gelten:
$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{a_n}{a_{n+1}}}=1$

Bei Wikipedia ist dazu zu finden, dass gilt:
$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}}$ , sofern a und b die Grenzwerte dieser beiden Folgen sind (und existieren und $\neq0$ sind!).
Da ich mir ja $a_{n+1}$ einfach als $b_n$ deklarieren kann, ist das kein Problem.

Folgt man diesem Link findet man noch folgendes. Und hier bin ich mir unsicher, ob das denn so in der Allgemeinheit stimmt:
$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{a_n}{a_{n+1}}}=\frac{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n}}{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_{n+1}}}$

Denn wenn das so stimmen würde, wäre MartinLs Beispiel falsch. Ist es aber nicht.
$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^{n+1} \frac{1}{n+1}}{(-1)^n \frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty} - \frac{n}{n+1} = -1$
Die obige Rechenregel kann man nicht anwenden, da der Grenzwert 0 ist.
Also kann man schonmal davon ausgehen, dass nicht zwingend 1 rauskommen muss.
Das Problem ist hier, dass die Teilfolgen einmal von unten und einmal von oben gegen 0 konvergieren. Dadurch kommt es zur -1.

Ich habe jetzt mal folgendes gemacht:
$a_n := (-1)^n\frac{1}{n}+1$ konvergiert nicht mehr gegen 0, sondern gegen 1. Damit wird die Rechenregel wieder anwendbar.

$\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{a_n}{a_{n+1}}}=\frac{1}{1}=1$

So weit so gut, rechne ich jedoch per Hand:

$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^{n+1} \frac{1}{n+1}+1}{(-1)^n \frac{1}{n}+1} = \dots= -1$

Wer findet meinen Fehler, oder ist die Rechenregel Murks?

von **mirko** » 06.02.09 17:48

DominikP hat geschrieben:Bei Wikipedia ist dazu zu finden, dass gilt:
$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}}$ , sofern a und b die Grenzwerte dieser beiden Folgen sind (und existieren und $\neq0$ sind!).
Da ich mir ja $a_{n+1}$ einfach als $b_n$ deklarieren kann, ist das kein Problem.

das nützt dir zumindest dann nichts, wenn die folge gegen 0 konvergiert... - ich frage mich gerade, ob $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{a_n}{a_{n+1}}}=1$ tatsälich immer gilt, wenn $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_{n+1}}$ exisitert und ungleich null ist...

DominikP hat geschrieben:Folgt man diesem Link findet man noch folgendes. Und hier bin ich mir unsicher, ob das denn so in der Allgemeinheit stimmt:
$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{a_n}{a_{n+1}}}=\frac{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n}}{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_{n+1}}}$

das kann zumindest schonmal nicht gelten, wenn $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_{n+1}}=0$

DominikP hat geschrieben:
$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} *\frac{(-1)^{n+1} \frac{1}{n+1}+1}{(-1)^n \frac{1}{n}+1}* = \dots= -1$

Wer findet meinen Fehler, oder ist die Rechenregel Murks?

für n=50 und n=49 bekommt mein taschenrechner für das zwischen den sternen jedenfalls werte nahe +1 raus - spricht also vieles für einen rechenfehler bei deinen 3 punkten (oder einen tippfehler meinerseits)

von **MartinL** » 07.02.09 00:17

Natürlich gilt das was du oben geschrieben hast.

Die Grenzwertsätze liefern einen für den Fall, dass $\lim_{n\to\infty} a_n = a$ und $\lim_{n\to\infty} b_n = b \ne 0$ , dass $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim_{n\to\infty} a_n}{\lim_{n\to\infty} b_n} = \frac{a}{b}$ und somit auch, dass für ein solches $b_n$ gilt dass $\lim_{n\to\infty} \frac{b_{n+1}}{b_n} = 1$

Die stehen auch so irgendwo im AfI Script da wo es auch entsprechungen für Addition und Multiplikation konvergenter Folgen gibt.

Was dein Beispiel angeht ...

$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\overbrace{(-1)^{n+1} \frac{1}{n+1}}^{\to 0}+1}{\underbrace{(-1)^n \frac{1}{n}}_{\to 0}+1} = 1$

infostudium.de

Forum zum Informatikstudium an der RWTH Aachen

[AfI] folgen grenzwert

folgen grenzwert

Re: folgen grenzwert

Re: folgen grenzwert

Re: folgen grenzwert