[NumRech] Eindeutigkeit der QR Zerlegung?

[LonliLokli]

Wenn ich Givens-Rotationen bzw. Householder-Reflexionen auf eine Matrix A anwende bzw auf die rechte Seite b anwende, kommt dann in beiden Verfahren die gleiche Matrix R bzw Vektor Qb raus?

[MartinL]

Ich meine mich dunkel zu erinnern, dass die QR Zerlegung nur eindeutig ist bis auf Vorzeichen.

Beachte hierbei, dass die n x n Einheitsmatrix, die an einer Stelle -1 statt 1 enthält eine orthogonale Matrix ist. Sei diese A. da A^t = A ist A*A = E

nun kannstdu im Fall, dass R quadratisch ist auf jeden Fall folgendes machen:

QR = (QE)R = (QAA)R = (QA)(AR)

Dabei ändert sich beim Ausmultiplizieren bei der Matrix Q und bei R irgendwas am Vorzeichen. Ich meine das man das irgendwie auch allgemeiner für nicht quadratische Matrizen machen kann und dass diese Fälle auch wirklich auftreten können.

[LonliLokli]

Ich meine mich dunkel zu erinnern, dass die QR Zerlegung nur eindeutig ist bis auf Vorzeichen.

Beachte hierbei, dass die n x n Einheitsmatrix, die an einer Stelle -1 statt 1 enthält eine orthogonale Matrix ist. Sei diese A. da A^t = A ist A*A = E

nun kannstdu im Fall, dass R quadratisch ist auf jeden Fall folgendes machen:

QR = (QE)R = (QAA)R = (QA)(AR)

Dabei ändert sich beim Ausmultiplizieren bei der Matrix Q und bei R irgendwas am Vorzeichen. Ich meine das man das irgendwie auch allgemeiner für nicht quadratische Matrizen machen kann und dass diese Fälle auch wirklich auftreten können.

Ich reduziere meine Frage ein bisschen:
Ist es egal, was die R Matrix bzw. rechte Seite b angeht, mit welchem Verfahren ich der Zerlegung durchführe (Givens oder Householder)?

[MartinL]

Um das lineare Ausgleichsproblem zu lösen?

also wenn du beides mit dem selben Verfahren machst ist es egal - du wirst das selbe Ergebnis bekommen. Du kannst aber nicht die Matrix mit Householder und den Vektor rechts mit Givens bearbeiten. Es ist wichtig, dass du die selben Transformationsschritte für b durchführst wie die Matrix.

Wie gesagt für die Matrix R ist es - soweit ich mich enzinnen kann an die Zeiten in denen ich Numerik gemacht hab - egal bis auf Vorzeichen der Einträge.

[LonliLokli]

Um das lineare Ausgleichsproblem zu lösen?

also wenn du beides mit dem selben Verfahren machst ist es egal - du wirst das selbe Ergebnis bekommen. Du kannst aber nicht die Matrix mit Householder und den Vektor rechts mit Givens bearbeiten. Es ist wichtig, dass du die selben Transformationsschritte für b durchführst wie die Matrix.

Wie gesagt für die Matrix R ist es - soweit ich mich enzinnen kann an die Zeiten in denen ich Numerik gemacht hab - egal bis auf Vorzeichen der Einträge.

Ist klar. Ich wende das gleiche Verfahren sowohl auf A als auch auf b. Einfach wenn ich mein Ergrbnis mit dem von Maple vergleich, muss es dann bis auf das Vorzeichen übereinstimmen und es ist egal, ob dann Householder oder Givens angewendet habe?

[MartinL]

Ganz sicher bin ich mir nicht mehr. Ich meine schon.

Auf jeden Fall ist die uneindeutigkeit auf Transformationen mit orthogonalen Matrizen beschränkt, die die Dreiecksgestalt von R nicht zerstören.

Ich hab das grad mal für 2x2 Matrizen geguckt und gesehen, dass es hier hinkommt. Ist natürlich keine Garantie. Wenn irgendwem ein Fehler auffällt, kann er mich ja korrigieren.