[LA] Vorbereitung LA, die 2.

[Chrizzo]

Daich mich grad auf die 2. Klausur vorbereite und ein paar Fragen habe, erklär ich schonmal diesen zum offiziellen Hilfe-Thread

1. Wie überprüft man, wann eine Abb. inj/surj/bij ist?
2. [...], ob eine Teilmenge ein Unterraum eines geg. Raumes ist? (z.B. Klausur vom 17.7.07, Aufg. 2)

[Chrizzo]

ok, zu7 1. hab ich was gefunden bei good old Wiki:

Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn die Abbildungsmatrix vollen Spaltenrang hat: rang(A) = n

Eine lineare Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn die Abbildungsmatrix vollen Zeilenrang hat: rang(A) = m

Eine lineare Abbildung ist genau dann bijektiv, wenn die Abbildungsmatrix quadratisch ist und vollen Rang hat: rang(A) = m = n


Allerdings bringt mir die Regel für die Bijektivität hier nicht viel, wenn ich die Aufg. 4a) des o.g. Blattes lösen will, da ich auch mit a=1 die Bedingungen erfüllen würde :/ oder?

[Der_Baz]

du sollst zeigen, wann die abbildung nicht(!) bijektiv ist.
das ist der fall, wenn a= -7 ist, da du dann keine vollen rang hast. es gibt dann eine Nullzeile

[ZaKaRy]

Injektivität:
f: K --> K eine lineare Abbildung in einem Körper z.B. f(x)=x
dann gilt für alle x,y aus K: x<y => f(x) < f(y)

Surjektivität:
Anschaulich müssen alle Elemente der Bildmenge durch die Abbildug getroffen werden. Jedes Bild muss ein Urbild haben.
Formal findet man die Definition sicher im Netz

[Chrizzo]

ok Baz, wer lesen kann, ne? ^^ thx

mir ist schon klar, was Surjektivität etc. ist, aber aufAbbildungsmatrizen umzumüntzen viel mir bissl schwer ^^

[fw]

dann gilt für alle x,y aus K: x<y => f(x) < f(y)

Du meinst sicher "" und nicht ""

[ZaKaRy]

dann gilt für alle x,y aus K: x<y => f(x) < f(y)

Du meinst sicher "" und nicht ""

du hast natürlich recht

[freiplatzzokker]

Dieser Thread bietet sich ja gerade an, um noch eine weitere Frage loszuwerden.

Wie bestimme ich bei einer nichtquadratischen Matrix die Links. bzw. Rechtsinverse

Ist die Frage nun so doof, dass sie einer Antwort entbehrt??? Googlen bringt leider auch nichts...

[LonliLokli]

Dieser Thread bietet sich ja gerade an, um noch eine weitere Frage loszuwerden.

Wie bestimme ich bei einer nichtquadratischen Matrix die Links. bzw. Rechtsinverse

Ist die Frage nun so doof, dass sie einer Antwort entbehrt??? Googlen bringt leider auch nichts...

Wenn diese Existiert, dann mit Gaus(dazu glaube ich muss die Matrix bestimmte anzahl von Stufen in ZSF, genauer s. vorlesungsmitschrift). Für ein Beispiel s. Übungsblatt 9.

[Spobo]

ich hab eine frage zu http://www2.math.rwth-aachen.de:8034/im ... 726315.png

9=9 hat unendlich viele lösungen
9=0 keine

wieso ist die antwort dann ja?

edit: ok ich 9=9 ist gar kein lgs, ich nehm mal an xy-y=1 auch nicht? dann könnte ich mir das ja jedenfalls erklären;)

[Martin]

9=9 hat unendlich viele lösungen
9=0 keine

Müsste es nicht
9x = 9 hat genau eine Lösung
9x = 0 hat genau eine Lösung
heißen?

[Stefan|IW]

|L(A,b) = s + |L (A,0)

1. Möglichkeit: |L (A,0) hat eine Lösung!
Dies die triviale Lösung (0,0,0,...,0)
Somit wäre |L(A,b) = s + (0,0,...,0)=s
Das inh. LGS hat also höchtens eine Lösung!
2. Möglichkeit: |L (A,0) hat unendlich viele Lösungen!
Somit hat durch obige Gleichung das inhomogene auch unendlich viele Lösungen!

Also hat das inhomogene Gleichungssystem höchstens genau so viele Lösungen wie sein zugehöriges homogenes LGS.

Dein 9=9, 9=0 sind keine LGS sondern einfach nur zwei Gleichungen.
Richtig müsste es: 9x=9 (inh. LGS) und 9x=0 (zugehöriges hom. LGS) heissen.
Und um´s vollständig zu machen: 9x=9 hat 1 Lösung (1), 9x=0 hat auch eine (0).

Edit: Da war ich wohl etwas zu langsam...

[tromba_marina]

ok ich 9=9 ist gar kein lgs, ich nehm mal an xy-y=1 auch nicht? dann könnte ich mir das ja jedenfalls erklären;)

9=9 ist eine lineare Gleichung. Bringt man die konstanten Terme auf die rechte Seite, dann steht da einfach 0=0. Das ist, wenn du so willst, das zugehörige homogene System zum LGS 9=0 (konstante Terme auf rechte Seite bringen: 0=-9).
Und wie du richtig erkannt hast: das homogene System hat (wenn wir z.B. R als Grundkörper haben) unendlich viele Lösungen, und das inhomogene eben in einem Körper mit Charakteristik ungleich 3 gar keine.

xy-y=1 ist keine lineare Gleichung, siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Gleichung#Lineare_Gleichungen_mit_mehreren_Unbekannten.
Und damit macht es auch keinen Sinn, die zugehörige homogene Gleichung zu betrachten, weil die Aussagen aus der LA für nichtlineare Systeme einfach i.A. nicht gelten.

Dein 9=9, 9=0 sind keine LGS sondern einfach nur zwei Gleichungen.
Richtig müsste es: 9x=9 (inh. LGS) und 9x=0 (zugehöriges hom. LGS) heissen.

Einfach irgendwo ein "x" hineinzuschreiben und zu behaupten, das sei "richtig", ist eine sehr interessante Lösungsmethode. Wird dir in der Klausur sicherlich viel helfen ;)

[Martin]

Dein 9=9, 9=0 sind keine LGS sondern einfach nur zwei Gleichungen.
Richtig müsste es: 9x=9 (inh. LGS) und 9x=0 (zugehöriges hom. LGS) heissen.

Einfach irgendwo ein "x" hineinzuschreiben und zu behaupten, das sei "richtig", ist eine sehr interessante Lösungsmethode. Wird dir in der Klausur sicherlich viel helfen

Er hat doch nur das "Gegenbeispiel" von Spobo widerlegt. Und ich finde die Beweisskizze schon gut genug, um dafür Punkte zu geben.

[tromba_marina]

Er hat doch nur das "Gegenbeispiel" von Spobo widerlegt. Und ich finde die Beweisskizze schon gut genug, um dafür Punkte zu geben.

Ich bezog mich nur auf das von mir zitierte Textstück, nicht auf die darüberstehende Beweisskizze (die übrigens über jedem endlichen Körper falsch ist).
Und was dort steht, ist nun mal ziemlich sinnfrei. Die beiden Gleichungen 9=9, 9=0 bilden durchaus ein lineares Gleichungssystem, und dass dieses "richtig" 9x=9, 9x=0 lauten müsste, ist schlichtweg falsch.