[LA] Test, ob zwei Matrizen Ähnlich sind?

[LonliLokli]

Wie kann man am einfachsten prüfen, ob zwei Matrizen ähnlich zueinander sind?

[fw]

Mit den Methoden der Vorlesung ist das vermutlich garnicht so trivial.. Normalerweise würde ich das so spontan über eine der kanonischen Normalformen machen (z.B. Frobenius oder Jordanform).

Was du machen kannst: Falls beide Diagonalisierbar sind, dann sind sie genau dann ähnlich, wenn die jeweilige Diagonalmatrix (bis auf Reihenfolge der Diagonalelemente) gleich ist.

Zeigen, dass sie NICHT ähnlich sind ist oft einfacher, z.B. haben ähnliche Matrizen das gleiche charakteristische Polynom (und damit die gleiche Determinante und die gleichen Eigenwerte), den gleichen Rang, die gleiche Spur, etc.

[cracki]

Zeigen, dass sie NICHT ähnlich sind ist oft einfacher, z.B. haben ähnliche Matrizen das gleiche charakteristische Polynom (und damit die gleiche Determinante und die gleichen Eigenwerte)

das heisst, dass man nur die ch. polynome vergleichen muss um zu wissen ob sie aehnlich sind? oder sagt mir das nur, ob sie NICHT aehnlich sind (wenn die ch. polynome verschieden sind)?

[AGo]

nein, das ist nur eine notwendige aber heine hinreichende Bedingung.

D.h. wenn du für deine Matrizen das char. pol. berechnest und es ist NICHT gleich, kannst du ausschließen, dass die Matrizen ähnlich sind.

Ist es aber gleich, so musst du weiter nach z.B. den Rängen gucken. Wieder: Wenn die unterschiedlich sind sind die Matrizen garantiert nicht ähnlich, falls sie aber gleich sind musst du weiter gucken.

Irgendwann gehen dir halt die Argumente aus warum diese Matrizen NICHT ähnlich sein sollten und du nimmst an, dass sie ähnlich sind.

Wenn du dir sicher sein willst (was aber zumindest als ich LA gehört habe nicht gefordert war) musst du halt in den sauren Apfel beißen und den Frobenius auspacken.

[Tim]

gabs da nicht auch was mit: Matirzen ähnlich wenn gleiche spur. Wobei es aber sein kann, dass wenn sie nicht die gleiche spur haben nicht unähnlich sein müssen, oder so.

[AGo]

Ja, die Spur fällt genau in die gleiche Kategorie wie das char. Pol., also auch nur notwendig aber nicht hinreichend für Ähnlichkeit

Für weitere Kriterien guckstu hier