[LA] LA Fragen

[aRo]

Hallo!

Die Drehungen und Spiegelungen sind mir noch nicht ganz geheuer. Wir haben dazu ja leider auch kein Übungsblatt mehr bekommen, ich gehe aber trotzdem davon aus, dass sie klausurrelevant sind, oder?

Also, ich fasse mal zusammen, was ich glaube :

- Drehungen und Spiegelungen sind orthogonal
- Ist A orthogonal und detA=1, dann ist A eine Drehung, egal in welcher Dimension
- Ist die Dimension 2, dann bedeutet detA = -1, dass A eine Spiegelung ist.
- Eine Spiegelung hat immer die Eigenwerte 1, -1

Die Spiegelachse bestimme ich, indem ich den Eigenraum zu V(1,A) bestimme.
Die Drehachse ist ebenfalls ER V(1,A) und die Drehebene wiederum der Orthogonalraum zur Drehachse.
(in jeder Dimension?

Fragen:
Wie bestimme ich den Drehwinkel?
Kann ich einfach einen Vektor nehmen, der senkrecht zur Drehebene steht, diesen abbilden und dann den Winkel zwischen dem vektor und seinem Abbild nehmen? Oder müssten die dann auch noch in der Drehebene liegen?

Es gibt ja noch diese Matrix Methode, die ich nicht verstehe.
Wenn ich das richtig sehe (warum auch immer), dann bestimme ich v1=Drehachse, v2,v3 = Drehebene, und normiere alle.
Dann ist B = (v1,v2,v3) ONB. Wenn ich jetzt aufstelle, kriege ich immer diese 1 oben, Nullen am Rand und diesen Block rechts unten? Und dann nehm ich einfach arccos von dem obersten linken Eintrag dieses Blocks?

2.Frage:

Wie stelle ich fest, ob etwas eine Spiegelung ist, wenn die Dimension größer als 2 ist?

edit: Muss ich in diesem Fall zeigen, dass EW: 1,-1 und dimV(1,A)=n-1?

Dankeschön erstmal..

[D3legator]

gegenfrage: kamen die folgenden beiden formeln in der vorlesung vor, darf ich die benutzen?

1.
die summe der diagonalelemente einer quadr. matrix ist gleich der summe aller EW.

2. die Determinante ist gleich dem Produkt aller EW in einer quadr. Matrix.

@aRo

nunja, es kam in den vorlesungen und in den Diskussionsstunden ziemlich häufig und intensiv vor, kann gut sein dass es dran kommt, vorallem hab ich sowas auch in den alten klausuren gesehen.

zum drehwinkel: nimm die 2. methode die du beschrieben hast, die ist richtig ,)

zum 2. jup, genauso

zu deinen aussagen am anfang: bei den spiegelungen soweit alles richtig, aber nicht ganz bei der drehung:

drehung in 2d: keine EW! wäre 1 EW, dann gäbe es eine gerade von punkten, die nicht gedreht werden, das ist quatsch. in 2d erkennst es direkt daran, ob du diese sin cos form hast. in 3d hingegen musste genau das beschriebene schema anwenden und da haste EW 1, nämlich die drehachse (punkte auf der drehachse werden selbst nicht gedreht)

det = -1 bedeutet wohl nicht automatisch spiegelung, es müssen alle bedingungen erfüllt sein. genauso ist EW = 1 kein hinreichendes kriterium für die drehung in 3d.