[LA] LA Fragen

[aRo]

Hallo!

Ich scheine etwas von der Definition des Gewichts bei einer PageRank Matrix nicht zu verstehen.

Da steht, dass das Gewicht einer Seite definiert ist als:

wobei L die Linkmatrix ist.

Verstehe ich das richtig, dass dann zB für die Linkmatrix der Vorlesung gilt:



das kann doch eigentlich nicht sein?
Man würde sich ja im Prinzip dauernd selbst wieder aufrufen...

Mir ist auch nicht klar, warum x EV zum EW 1 sein muss...

Hoffe auf Erklärungen!
Danke!

[fw]

wobei L die Linkmatrix
das kann doch eigentlich nicht sein?
Man würde sich ja im Prinzip dauernd selbst wieder aufrufen...

Im Prinzip hast du Recht, nur dass der Eintrag der Link-Matrix per Definition immer 0 ist, wenn i=j gilt, d.h. der von dir genannte Fall tritt niemals ein.

Mir ist auch nicht klar, warum x EV zum EW 1 sein muss...

Das folgt quasi aus der Definition der Matrixmultiplikation, denn es gilt ja: .

x ist ein Spaltenvektor (d.h. j ist immer 1). Zusammen mit dem was du oben schon geschrieben hast (Indizes anders genannt) folgt, dass Lx=x (= 1*x) gilt, also ist x Eigenvektor zum Eigenwert 1.

Hoffe das hilft dir :-)

Gruss
Flo

[aRo]

ok, das mit dem EV habe ich wohl verstanden.

Darf ich dich denn dann mal bitten, das Gewicht von x2 des Vorlesungsbeispiels auszurechnen? (ohne EV)...

ich sehe noch immer nicht so ganz ein, warum das gehen soll.

[aRo]

wie dem auch sei, ich denke ich gebe mich hier jetzt mit dem Eigenvektor zufrieden

Ich hätte da jedoch noch eine Frage zur Musterlösung Aufgabe 60.

Da steht:
Nach Folgerung (2.40c) ist B' genau dann eine Basis von Pol4, wenn XB(B') eine Basis des Koordinatenraumes R5 ist, denn die Koordinatenabbildung XB ist nach Satz (2.32) ein Isomorphismus.

Die Argumentation kann ich nicht ganz nachvollziehen.

Also die Koordiantenabbildung XB ist unser Isomorphismus. Das bedeutet, dass er eine Basis auf eine Basis abbildet.
Also wenn B' Basis => XB(B') Basis. Aber doch nicht zwingend andersherum oder?

Ich habs komischerweise genau so in meiner Lösung damals gemacht, ohne mir wohl richtig imKlaren darüber zu sein, warum das eigentlich geht.

Naja, jedenfalls wäre ich euch verbunden, wenn mir jemand nochmal sagen kann, warum diese Erklärung richtig ist.

Danke!

(Editiert von fw: Musterlösung verlinkt)

[SpatzenArsch]

Hi,

wenn die Abbildung ein Isomorphismus ist, dann existiert auch eine Umkehrabbildung und die ist natürlich auch bijektiv. Folglich bildet die Umkehrabbildung auch wieder Basen auf Basen ab.

SpatzenArsch

[aRo]

Hallo!

Ja, das macht Sinn, danke dir

Ich habe auch ab und zu Schwierigkeiten die Zusatzfragen in den Musterlösungen zu beantworten:

Aufgabe 61:
Was müssten die Spalten von G zusätzlich erfüllen, damit auch noch surjektiv ist?

Also injektiv ist G, weil die Spalten linear unabhängig sind und damit der Rang von G 4 ist, was der Dimension von F^4 entspricht.

Für Surjektivität müsste der Rang von G gleich 7 sein, oder nicht? Und das geht hier ja nicht.

Eine Abbildung kann doch dann nur bijektiv sein, wenn die Abbildungsmatrix quadratisch ist?

Verstehe ich das richtig?

Und noch eins:
Bei quadratischen Matrizen ist ein Linksinverses auch immer ein rechtsinverses und umgekehrt, oder?

[fw]

Hallo aRo, schön zu sehen, dass auch tatsächlich jemand über meine schönen "Zusatzfragen" (macht Spass sich sowas auszudenken) nachdenkt :-)

Was müssten die Spalten von G zusätzlich erfüllen, damit auch noch surjektiv ist? Also injektiv ist G, weil die Spalten linear unabhängig sind und damit der Rang von G 4 ist, was der Dimension von F^4 entspricht. Für Surjektivität müsste der Rang von G gleich 7 sein, oder nicht? Und das geht hier ja nicht.

Ja, genau. Eine lineare Abbildung ist injektiv, wenn die Spalten linear unabhängig sind und surjektiv, wenn die Spalten ein Erzeugendensystem sind (also bijektiv, wenn die Spalten eine Basis sind).

Eine Abbildung kann doch dann nur bijektiv sein, wenn die Abbildungsmatrix quadratisch ist? Verstehe ich das richtig?

Ja, ganz genau (bzw. fast, das gilt natürlich nur für lineare Abbildungen und auch nur auf endlich-dimensionalen Vektorräumen, aber das meintest du sicher). Es gilt sogar noch mehr: Bei quadratischen Matrizen ist injektiv und surjektiv äquivalent, d.h. sobald eins erfüllt ist, auch das andere (und damit auch bijektiv).

Und noch eins:
Bei quadratischen Matrizen ist ein Linksinverses auch immer ein rechtsinverses und umgekehrt, oder?

Ja, genau, das liegt an dem was ich oben gesagt habe, bzw. im wesentlichen (wenn du es etwas abstrakter willst), daran, dass die Menge der quadratischen Matrizen einen Ring bildet (für nicht-quadratische Matrizen ist das nicht so!) und in Ringen ist Linksinverse und Rechtsinverse, falls sie existieren, immer das selbe (Zusatzfrage: Warum? *g*)

Gruss
Florian

[aRo]

Hi!

Danke Flo!

Zwei Fragen zum Aufgabenblatt 9, MC Aufgaben:

1) K ein Körper, n>=2.
Die Abbildung det: GLn(K) -> K* ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.

Das ist korrekt, doch warum genau?

Ich versteh auch nicht so richtig was der * da beim K soll. Das ist doch die Einheitengruppe, nicht wahr? Aber wozu brauch ich die hier? Ich meine, ich bilde einfach reguläre Matrizen mittels Determinante ab, oder nicht?

edit: Ach....damit schließe ich die 0 aus...

Ein Gruppenhomomorphismus ist es, das liegt vermultich in der Regel det A * B = det A * det B begründet.
Surjektiv hieße, dass ich alle Elemente des Körpers except die 0 treffe. Und warum genau ist das nun wieder so?


Dann noch:
Falls die Summe der Koeffizienten von gleich Null ist, so gibt es ein v <> 0 von V, mit
Worauf genau zielt diese Frage ab? Im Prinzip heißt das doch, dass 1 Eigenwert ist, oder?
Aber wie kann ich das an den Koeffizienten ablesen?

[fw]

Surjektiv hieße, dass ich alle Elemente des Körpers except die 0 treffe. Und warum genau ist das nun wieder so?

Ganz einfach: Weil du zu jedem Körperelement (ausser 0) eine invertierbare nxn Matrix mit Einträgen aus K finden kannst, die als Determinante genau dieses Körperelement hat (denk mal an die Einheitsmatrix mit leichter Modifikation). Die Null muss ausgeschlossen werden, weil keine Gruppenstruktur hat und man dann auch nicht von Homomorphie (Strukturerhaltung) sprechen kann ( ist dagegen eine Gruppe für jeden Körper K!))

Falls die Summe der Koeffizienten von gleich Null ist, so gibt es ein v <> 0 von V, mit
Worauf genau zielt diese Frage ab? Im Prinzip heißt das doch, dass 1 Eigenwert ist, oder? Aber wie kann ich das an den Koeffizienten ablesen?

Genau, das ist in meinen Augen ein ziemlich trivialer und gleichzeitig ziemlich nutzloser Satz :-) Nimm dir mal ein Polynom und setz für x die 1 ein. Was passiert wenn die Summe der Koeffizienten 0 ist und was heisst das für die Eigenwerte? :-)

[nesta04]

hat jemand Lösung für die Klausur letztes Jahr???

[fw]

hat jemand Lösung für die Klausur letztes Jahr???

Alte Klausuren (mit Lösung) gibt es auf der Webseite der Vorlesung (und auch auf der Webseite des Lehrstuhls)

[D3legator]

hi,

hab ein problem bei einer selbst ausgedachten aufgabe:

ich habe mir das polynom (x-1)^3 (im R^3) ausgesucht und dazu die begleitmatrix gebildet. diese hat nun den eigenwert 1 und ist damit eine drehung im R^3. hab dann drehachse und drehebene bestimmt und daraus eine ONB gemacht. schließlich habe ich versucht, den drehwinkel zu bestimmen, indem ich M_phi zur ONB berechnet hab.

rausgekommen ist dabei folgende matrix:
[1, - √30/10 , - 9·√5/5;
0, 2/5 , √6/5 ;
0, - 3·√6/10, 8/5 ]

naja, das sieht aber nicht nach einer drehmatrix aus...

da ich das ganze dreimal gerechnet und auch mit derive überprüft hab, vermute ich, dass kein rechenfehler vorliegt ^^

ist vielleicht der schluss "EW = 1 --> Drehmatrix" falsch und es gilt nur "Drehmatrix --> EW = 1" ?? (im R^3)

frage nebenbei: wenn man den winkel bestimmen will, muss man eine ONB bilden, oder reicht eine OGB? letzteres würde ich bevorzugen, dann fallen die fiesen wurzeln weg.

[fw]

ist vielleicht der schluss "EW = 1 --> Drehmatrix" falsch

Normalerweise bezeichnet man mit "Drehmatrix" die Elemente der speziellen orthogonalen Gruppe , d.h. eine orthogonale Matrix mit Determinante 1. D.h. jede Drehung hat Determinante 1, aber umgekehrt gibt es Matrizen mit Determinate 1, die keine Drehung beschreiben...

[aRo]

wie genau würde man am geschicktesten zeigen, dass etwas ein Skalarprodukt ist? Müsste ich echt (S1) bis (S3) von 4.1 überprüfen?

[MartinL]

naja ich denke das hat mit geschickt nicht so viel zu tun. Wenn da steht, dass du das zeigen sollst, dann wird von dir erwartet, dass du die entsprechenden Voraussetzungen prüftst. In dem Fall diese 3 Bed. Wie geschickt du dich dabei dann anstellst bleibt dir überlassen