[LA] Blatt 10 MC

[Robert]

"Es gibt einen Endomorphismus Phi, der keinen Eigenvektor besitzt."

Das habe ich mit JA angekreuzt, aber es soll NEIN sein.

Ich frage mich, welchen Eigenvektor eine Drehung im UZS um den Ursprung im hat.

Charakteristisches Polynom ist , hat also keine Eigenwerte.

Nur der Nullvektor wird auf ein Vielfaches von sich abgebildet und der ist per Definition kein Eigenvektor.

Was daran ist falsch?

Danke,
Robert

[MartinL]

Das gilt nicht für beliebige Vektorräume.

Betrachtet man für höhere Dimensionen den so fällt folgendes auf:

Das charakteristische Polynome ist immer von Grad n. Außerdem sind alle Polynome vom Grad echt größer 2 über reduzibel (man kann sie in Faktoren kleineren Grads aufspalten) und erhält eine Darstellung der Polynome aus irreduzibelen (analog zur Primfaktorzerlegung in den natürlichen Zahlen).
Die Grade der Primfaktoren sind 1 oder 2 und müssen sich insgesamt wieder zu n aufsummieren. Ist n nun ungerade, so fällt auf, dass mindestens eins der Primpolynome den Grad 1 haben muss und Polynome vom Grad ein (x - a) haben immer eine Nullstelle (nämlich a).
Die Begründung wirkt vielleicht etwas kompliziert ...

deshalb an der Stelle vielleicht auch mal ein Anschaulich analytisches Argument.
Ein Polynom mit ungeradem Grad hat für den Grenzwert gegen ein anderes Verhalten als gegen . Es findet also ein Vorzeichenwechsel statt. Also hat das Polynom mindestens eine Nullstelle.

Also gibt es im für n ungerade keine Eigenvektorlosen Endomorphismen.

Gruß,

Martin

[YtKM]

Hallo,
deine Erkärung ist gut und auch nachvollziehbar.

Wenn die Frage allerdings - sowie oben beschriebe - "Es gibt einen" lautet, müsste die Antwort doch trotzdem Ja lauten, oder sehe ich das falsch?

[MartinL]

Naja wenn oben steht "Sei V ein beliebiger Vektorraum"

und dann steht da

"Es gibt einen Endomorphismus, der keine Eigenvektoren besitzt."

Dann ist die korrekte Antwort Nein. Denn du kannst für einen beliebigen Vektorraum nicht die Existenz eines solchen Endomorphismus folgern.