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von **Cornflake** » 19.03.08 01:04

cracki hat geschrieben:ich tipp mal die aufgaben runter.

(1)

* Auf wieviele Arten lassen sich die Buchstaben KLAUSUR umsortieren?

* Wieviele Augenkombinationen gibt es bei einem Wurf von 4 Wuerfeln (es kommt nicht auf die Reihenfolge an)?

* Gegeben ist ein Vorrat von Kugeln in 10 Farben, von jeder Farbe gibt es 12 Stueck. Aus diesem Vorrat werden 3 Kugeln gezogen. Wieviele moegliche Farbreihenfolgen gibt es, wenn die Reihenfolge der Ziehungen beachtet wird.

Klausur: $\frac{7!}{2!}= 7 \cdot 6 \cdot5\cdot4\cdot3= 2520$

4Würfel: ${6+4-1 \choose 4} =\frac{9!}{4! \cdot (9-4)!} = 126$

Farben: $10^3 = 1000$

cracki hat geschrieben:(2)

* Fuer beliebige Mengen A, B und C gilt $A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)$

* Wieviele Teilmengen besitzt die Menge $\{ \{ 1, 2 \}, 3, 4 \}$ ?

$A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)$ : Nein
Teilmengen: 8

cracki hat geschrieben:(3) Sei $\sigma$ die folgende Permutation aus der symmetrischen Gruppe $S_{12}$ : $\begin{pmatrix}<br />1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\<br />9 & 8 & 7 & 5 & 11 & 1 & 10 & 12 & 6 & 2 & 3 & 4<br />\end{pmatrix}$

* Worauf wird 4 durch $\sigma \cdot \sigma \cdot \sigma$ abgebildet?

* Was ist das Signum von $\sigma$ ?

* Geben Sie $\sigma$ in Zykelschreibweise an

4 $\sigma \cdot \sigma \cdot \sigma \Rightarrow$ 3
Signum : 1
Zykelschreibweise: $(1\ 9\ 6)(2\ 8\ 12\ 4\ 5\ 11\ 3\ 7\ 10)$

cracki hat geschrieben:(4)

* Seien a = 292 und b = 580. Geben Sie $(x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ an, so dass $xa + yb = \mathrm{ggT}(a,b)$ ist.

* Bestimmen Sie $a \in \mathbb{Z}$ , $0 \leq a \leq 16$ , so dass in $\mathbb{Z} / {n \mathbb{Z}}$ gilt $\overline{5} \cdot \overline{a} = \overline{8}$

* Bestimmen Sie den Wert $\varphi(57)$ der Eulerschen $\varphi$ -Funktion.

$2 \cdot 292 + (-1) \cdot 580 = 4 \Rightarrow (2,-1)$

$\overline{5} \cdot \overline{a} = \overline{8}$ Was ist da denn n?

$\varphi(57)=\varphi(19) \cdot \varphi(3) = 18 \cdot 2 = 36$

cracki hat geschrieben:(5)

* Gilt ${n \choose k} = {n-1 \choose k} + {n \choose {k-1}}$ fuer alle $n,k \in \mathbb{N}$ mit $1 \leq k \le n$ ?

* Was ist $2! \cdot {33 \choose 8} / { 33 \choose 25 }$ ? (Bitte als ganze Zahl ausrechnen.)

Was ist ${ 4 \choose 0 } + {4 \choose 1 } \cdot 3 + {4 \choose 2} \cdot 9 + { 4 \choose 3 } \cdot 27 + { 4 \choose 4 } \cdot 81$ ? (Bitte als ganze Zahl ausrechnen.)

${n \choose k} = {n-1 \choose k} + {n \choose {k-1}} \Rightarrow$ Nein

$2! \cdot {33 \choose 8} / { 33 \choose 25 }=2! \cdot 1 = 2$

${ 4 \choose 0 } + {4 \choose 1 } \cdot 3 + {4 \choose 2} \cdot 9 + { 4 \choose 3 } \cdot 27 + { 4 \choose 4 } \cdot 81= 1 + 4 \cdot 3 + 6 \cdot 9 + 4 \cdot 27 + 1 \cdot 81=1+12+54+ 108+81=256$

cracki hat geschrieben:(6)

* Welche der folgenden Eigenschaften charakterisieren Relationen R auf einer Menge M, die eine Halbordnung sind? (Geben Sie die Buchstaben an.)

(A) relativ,
(B) symmetrisch,
(C) antisymmetrisch,
(D) transitiv,
(E) destruktiv,
(F) reflexiv,
(G) ist Aequivalenzrelation

* Wieviele symmetrische Relationen gibt es auf einer vierelementigen Menge?

Halbordnung: (C), (D), (F)

Symmetrische Relationen auf eine Menge mit vier Elementen: $2^{\frac{4 \cdot (4+1)}{2}}= 2 ^{\frac{4^2+4}{2}}=1024$

cracki hat geschrieben:(7)

Sei der folgende Graph mit Knoten $V = \{ 1, ..., 10 \}$ gegeben:

* Wieviele Zusammenhangskomponenten hat der auf V' = {2, 5, 6, 7, 10} induzierte Teilgraph?

* Wie lang ist der kuerzeste Pfad von Knoten 3 zu Knoten 1?

* Welches ist der hoechste Knotengrad in diesem Graphen?

Zsh.-komponenten V' = 1

Pfad von 3 nach 1 über 2 = 2

Grad ist an jedem Knotem = 3

cracki hat geschrieben:(8 )

* Seien $f: \mathbb{A} \rightarrow \mathbb{B}$ und $g: \mathbb{B} \rightarrow \mathbb{C}$ Abbildungen. Wenn $g \circ f$ bijektiv ist, dann ist f injektiv.

* $f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \times \mathbb{R}, \quad (x,y) \rightarrow (x^2, x-y)$ ist eine surjektive Abbildung.

* Wieviele injektive Abbildungen gibt es von der Menge $\{ i \in \mathbb{N} | 1 \leq i \leq 4 \}$ in die Menge $\{ -1, 0, 1, 2 \}$ ?

Wenn $g \circ f$ bijektiv ist, dann ist f injektiv. $\Rightarrow$ Ja

$x^2$ kann keine negativen Werte erreichen $\Rightarrow$ Nein

Injektive Elemente von einer Vierelementrigen auf eine Vierelementrige Menge: $\frac{4!}{(4-4)!}=\frac{24}{1} = 24$

cracki hat geschrieben:(9) Beweisen Sie durch vollstaendige Induktion, dass fuer $x \in \mathbb{R}$ mit $x \neq 1$ und alle $n \in \mathbb{N}$ gilt:

$\sum_{k=1}^{n} x^k = \frac{x - x^{n+1}}{1-x}$ .

Beweis durch vollständige Induktion über n:
IA: A(1) : linke Seite: $\sum \limits_{k=1}^1 x^k = x$

rechte Seite: $\frac{x-x^{1+1}}{1-x}= \frac{(1-x) \cdot x}{1-x} = x$

IV: Sei $x \in \mathbb{R}$ mit $x \neq 1$ und alle $n \in \mathbb{N}, n \geq 1$ und gelte A(n) für ein beliebiges aber festes n.

z.z. die Aussage gilt auch für A(n+1)

IS: A(n+1)= $\sum \limits_{k=1}^{n+1} x^k = \sum \limits_{k=1}^n x^k + x^{n+1} = \limits_{}^{IV} \frac{x-x^{n+1}}{1-x} + \frac{(1-x) \cdot x^{n+1}}{1-x} = \frac{x-x^{n+1} + x^{n+1} - x^{n+2}}{1-x}= \frac{x-x^{n+2}}{1-x}$
$\Rightarrow$ A(n+1) gilt.
Damit ist die Aussage A(n): $\sum_{k=1}^{n} x^k = \frac{x - x^{n+1}}{1-x}$ für alle $n \in \mathbb{N}, n \geq a$ per vollständiger Induktion bewiesen.

cracki hat geschrieben:(10) Sei $\mathbb{G}, \cdot$ eine abelsche Gruppe. Beweisen Sie, dass die Teilmenge $\mathbb{U} = \{ x \cdot x \cdot x | x \in \mathbb{G} \} \subseteq \mathbb{G}$ eine Untergruppe von G ist.

Den Gruppenbeweis hatte ich auch schon in der anderen Klausur formal falsch, wenn sich also jemand erbarmt

....

Ansonsten, falls was falsch sein oder fehlen sollte, bitte ich um Korrektur.

von **Lanchid** » 19.03.08 02:55

Cornflake hat geschrieben:
Wenn $g \circ f$ bijektiv ist, dann ist f injektiv. $\Rightarrow$ Nein

Doch, denn f ist die zuerst ausgeführte Funktion. Wäre $x \neq y$ , aber f(x)=f(y), dann wäre auch $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(f(y)) = (g \circ f)(y)$ , und $g \circ f$ nicht injektiv, also auch nicht bijektiv.

von **Cornflake** » 19.03.08 03:09

Hast Recht, hab mich vertan, bei $g \circ f$ ist natürlich f injektiv und g surjektiv, hatte das verwechselt, ist jetz korrigiert, danke.

von **KaeptenIglu** » 19.03.08 09:34

scttytrmn hat geschrieben:hat jemand bock mal seine loesungen zu posten?

was mich besonders interessiert:

ist das ergebnis bei der kugelaufgabe 1000?

Ja, oder 10^3. Dann muss man nur noch dran denken, dass 10^3 = 1000 ist und nicht 100...

von **cracki** » 19.03.08 09:45

hab mich bei der (4.2) vertan. das ist natuerlich Z / 17 Z und raus kommt 5, denn 5*5 = 25, modulo 17 ist 8.

wenn ich bei der induktion nicht zu viele punkte fuer die form verliere, koennte das ne gute note werden

von **YtKM** » 19.03.08 12:43

$g \circ f$ bijektiv ist, dann ist f injektiv.

Seid ihr euch sicher, dass die Aufgabenstellung so war? Ich könnte schwören, dass es bei mir so war:

$g \circ f$ bijektiv ist, dann ist f surjektiv.

und dann ist es natürlich nein, denn nur g muss surjektiv sein. Naja, hoffentlich wird der eine Fehler zu verschmerzen sein, aber trotzdem sehr ärgerlich, wenn man die Lösung kann und eine andere Aufgabenstellung liest.(da hoffe ich nur, dass es verschiedene Gruppen gab, was ich jedoch sehr bezweifle)

von **Cornflake** » 19.03.08 14:51

YtKM hat geschrieben:Seid ihr euch sicher, dass die Aufgabenstellung so war? Ich könnte schwören, dass es bei mir so war:
$g \circ f$ bijektiv ist, dann ist f surjektiv.

und dann ist es natürlich nein, denn nur g muss surjektiv sein....

Da hast du recht, wenn die Aufgabenstellung so war dann ist f injektiv und NICHT zwangsweise surjektiv.

Es kann immernoch sein, dass es verschiedene Gruppen gab, ich weiss zwar nicht, wie viele nachgeschrieben haben aber zumindest bei der ersten Klausur gab es Gruppe A und B.

@Cracki, ja, mit n=17 ist a = 5,- Stimmt.

von **cracki** » 19.03.08 20:47

zu dem g kringel f muss ich sagen, dass ich meine eigene schrift nicht mehr lesen konnte. wenn das einer genau weiss, meldet euch, denn ich weiss es nicht mehr.

ich hab auf mein blatt jedenfalls "injektiv" geschrieben. ich geh davon aus, dass es so war. sieht nicht wie ein "bi" aus und auch nicht wie ein "sur". wenn ich mich aufm aufgabenblatt verlesen hab, aeh ja...

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