[AfI] rek. def. Folgen

[Chrizzo]

Mojen, wie komme ich auf die Behauptung für dden Grenzwert? In der 1. Klausur wurde "1" genommen....wie kommt man daran?

[Cornflake]

Also ich mache das ganz simple um an die sog. BEHAUPTUNG zu kommen.

Ich gehe ganz am Anfang davon aus, dass die Folge konvergiert, rechne damit den Grenzwert aus, also sage: lim n gegen unendlich für a von n geht gegen a und setze dann zwei aufeinanderfolgende "Glieder" gleich.

Dann kommt man DIREKT auf den Grenzwert und kann diesen als sog. BEHAUPTUNG vorraussetzen. Nur, dass man anhand dieser Behauptung dann erst die Beschränktheit nachweisen kann und dann nach Def 3.9 oder dem Monotonieprinzip sagen kann, dass die Folger ÜBERHAUPT konvergiert und dann erst "legal" den ersten von mir erwähnten Schritt anwenden darf.

Also einfach vorher wissen wodrauf man hin arbeitet .
Analysis halt.

[Chrizzo]

ah ok....dachte mir sowas "logisches" schon ;Þ hast recht, ist halt Afi ^^

[thana]

das ist ziemlicher quatsch.

Eine beschränkte und monotone folge konvergiert, diese beiden punkte kann man beweisen ohne etwas über den grenzwert zu wissen.

bewesien, dass die folge monoton wächst/fällt kann man einfach per VI beweisen. dass sie beschränkt ist kann man auch per VI beweisen. dabei nimmt man sich einfach irgendeinen belibigen wert und beweist dass alle folgeglieder größer/kleiner sind als dieser wert. auf diesen wert kann man i.d.r. durch scharfes ansehen kommen. dieser wert ist auch unabhöngig von grenzwert.

den grenzwert kann man direkt ausrechnen, da alle folgeglieder gegen diesen wert konvergieren, also kann man sie gleichsetzen und durch umstellen nax x oder welche variable auch immer ausrechnen

[DominikP]

Richtig.
Man könnte auch z.B. zeigen, dass KEIN Folge-Glied größer als 10 ist, obwohl der Grenzwert in Wahrheit bei 2 liegt.
Das ist an dieser Stelle (noch) egal. Hauptsache, es ist beschränkt.


Ich möchte aber noch eine Frage hinten anstellen. Bisher bin ich immer auf den Grenzwert gekommen, in dem ich die Folge als Funktion betrachtet habe.
Zum Beispiel so:
;
Mit pq-Formel erhält man als Grenzwert

Ist das zulässig? Wie geht die Mehtode mit dem Gleihsetzen zweier Folge-Glieder?

[thana]

beispielsweise sei die folge x_n folgendermaßen definiert:


dann konvergiert - wenn die folge denn konvergiert - gegen z.b. Y und dann kovergiert x_n gegen Y und x_{n+1} auch, also gilt für
Durch umstellen erhält man dann den wert.

[Robert]

Ich würde mich den Vorredner anschließen, wollte aber noch erwähnen, dass man manchmal aufpassen muss, dass man nicht irgendwo eine Division durch Null hat. Also ggf eine mini-VI um z.B. zz, dass x_n > 0 Für alle n€N.

Außerdem kann es sein dass man nachweisen muss, dass alle x_n>0 sind, wenn man irgendwo ein quadriertes Folgenelement hat und in der VI für Beschränktheit/Monotonie quadriert oder die Wurzel zieht, um die Eindeutigkeit der Lösung zu bekommen. Es kommt dabei aber auch häufig vor, dass man sich auf die Monotonie oder Beschränktheit berufen kann, um z.B. eines der pq-Formel-Ergebnisse rauszuschmeißen, aber man muss es halt begründen/hinschreiben.

Das kommt zwar nicht immer vor, aber da kann man sich schon mal den ein oder anderen Punkt mit vermiesen.

[Cornflake]

das ist ziemlicher quatsch.

Ist es nicht. Natürlich kann man sich irgendeine beliebige Grenze setzen, aber in manchen Fällen funktionieren dann zu große/ zu kleine Zahlen nicht mehr.

Deswegen ist es ganz einfach, da man den Grenzwert sowieso ausrechnen muss, diesen einfach als Grenze zu benutzen, um dann die Konvergenz überhaupt nachzuweisen.
Wenn dann evtl. durch pq-Formel oder sonstwie 2 Grenzwerte rauskommen, kann mann meissten einfach Intuitiv sehen, dass es z.B. nicht negativ werden kann.

@thana: Also, wie das ganze funktioniert war ja klar, nur halt nicht, wie mann die Grenze wählt, und da es manchmal dann doch nicht so leicht zu sehen ist, finde ich den schließlichen Grenzwert zu nehmen am einfachsten.

[thana]

da widersprichst du dir aber. wenn man sehen kann, dass der grenzwert nicht negativ sein kann, kann man einfach 0 als untere grenze nehmen

[MartinL]

Nunja ....
Grundsätzlich ist es natürlich nicht notwendig im Vorhinein den GW der Folge zu kennen um Beschränktheit und Monotonie zu zeigen, aber ich denke es ist durchaus hilfreich sich daran zuerst zu versuchen, da einem das bei Abschätzungen in eine gewisse Richtung weisen kann, wenn man nicht sieht was man machen soll. Ansonsten ist natürlich eine vorsichtige Argumentation gefragt.
Man kann z.B. eine Grenze angeben, die von endlich vielen Elementen der Folge überschritten wird, wenn einem das sinnvoll erscheint. Ebenfalls kann die Monotonie für endlich viele Elemente verletzt sein.

Die Vorgehensweise ist im allgemeinen wie folgt:

Man nimmt an die Folge besitzt einen GW und und guckt sich an was daraus folgt (Fixpunkteigenschaft des GW). Meist kriegt man dabei raus, dass der GW eine oder mehrere Zahlen sein könnten.
Wenn man nun die Konvergenz zeigen kann (sei es über Monotonie, oder Cauchy, oder was einem auch immer als sinnig erscheinen mag), dann folgt daraus dass eine der eben berechneten Zahlen auch wirklich der GW ist.
Wenn man mehrere raus bekommst, muss man halt durch weitere Einschränkungen versuchen nur noch einen zu bekommen.

[Cornflake]

da widersprichst du dir aber. wenn man sehen kann, dass der grenzwert nicht negativ sein kann, kann man einfach 0 als untere grenze nehmen

...
a) nein tue ich nicht.
b) vor allem nicht, wenn man eine obere Grenze benötigt.

Wenn man eine Untere benötigt und es können 2 sein, ist es je nach "Intuition" natürlich immer noch die positive. Kommt auf die Folge an.

Natürlich kann man einen anderen Wert nehmen, aber ich wüsste keine Folge bei der ich mit dieser Methode nicht sehr leicht an EINE Grenze käme.

[DominikP]

Ich muss den Thread vom letzten Jahr nochmal "aufwärmen":

Ich rechne gerade mit der Folge ,

Ich möchte folgendes zeigen (per Induktion):
a) Folge ist (nach oben) beschränkt
b) Folge ist monoton steigend

Dann folgt die Konvergenz und man darf theoretisch erst ab hier den Grenzwert ausrechnen.

Ich habe für die Beschränktheit etwas genommen, was "groß" genug ist.
Also Behauptung:


Das ist eine wahre Behauptung, denn der Grenzwert liegt in Wirklichkeit bei 2 (was ich ja "offiziell" an dieser Stelle noch gar nicht wissen darf).

Ich mache nun eine Indutkion über n:
- jo, das passt!
also noch zu zeigen:



Wende ich jetzt die Induktionsvorraussetzung an, passiert folgendes:
erhalte ich einen Widerspruch.

Was ist hier schief gelaufen?


PS: Rechnet man in der Indutkion sofort mit dem Grenzwert, klappt es natürlich. Das interessiert mich im Moment aber weniger..... ich wundere mich über obiges Phänomen.
Wahrscheinlich hab ich einfach nur ein Brett vorm Kopf und der Fehler ist eigentlich total offensichtlich

[MartinL]

Wenn die von dir gewählte Schranke zu groß ist und du wendest dann die Induktionsvoraussetzung an, dann sorgt der quadratische Teil zwangsläufig, dass du noch größer wirst. Natürlich wäre die Behauptung richtig, aber deine Beweismethode schlägt fehl, weil deine Abschätzung in der Induktionsvoraussetzung zu ungenau ist.

Meine Empfehlung: Als erstes den potentiellen GW Kandidaten ausrechnen und versuchen damit zu rechnen. Ich gehe auch davon aus, dass die Aufgaben so gestellt sind, dass davon ausgegangen wird, dass man eben dies tut.

[mirko]

stell dir vor, dein startwert wäre nicht 1, sondern 9.

der induktionsanfang wäre offensichtlich immer noch korrekt.

der induktionsschritt hat mit dem startwert nix zu tun, würde also ebenfalls korrekt bleiben.

tatsächlich gilt aber a_2>10, falls a_1=9.

mit anderen worten: wenn dein beweis funktionieren würde, könntest du damit auch zeigen, dass die gleiche folge mit a_1=9 immer unter 10 bleibt, was aber nicht der fall ist

es kann also nicht gehen, per VI zu zeigen, dass es kleiner als 10 bleibt. die stelle, an der es schief geht, hat martin ja schon erwähnt...

[DominikP]

Meine Empfehlung: Als erstes den potentiellen GW Kandidaten ausrechnen und versuchen damit zu rechnen.

Das ist schön und gut. Wie mein "PS" klar machen sollte:
Genau diesen Hinweis wollte ich ja nicht.
Ich habe eine Behauptung aufgestellt, die gilt. Warum schlägt der Beweis einer korrekten Behauptung derart fehl und was ist die Ursache?