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von **Quinie** » 07.02.08 16:48

So da ja scheinbar alle diese Klausur rechnen, können wir hier ja mal ein paar Lösungen sammeln!

Hier die Klausur
http://www.igpm.rwth-aachen.de/node/294

von **Quinie** » 07.02.08 17:09

Probeklausur
Aufgabe 2)
a)
$P = \left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$

$L = \left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1/4 & 1 & 0 \\ 1/12 & 1/3 & 1 \end{array} \right)$

$R = \left( \begin{array}{ccc}12 & 8 & 16 \\ 0 & -5 & 8 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

b)det(A)=det(L)*det(R)=1*det(R)=-380

von **MartinM** » 07.02.08 17:31

MC-Aufgaben:

Bin nicht 100%-ig sicher. Sagt mal Bescheud wenn ihr was anderes habt.

1.
wahr
wahr

2.
falsch
wahr

3.
wahr
wahr

4.
falsch
wahr

5.
wahr
wahr

6.
wahr
wahr

7.
wahr
falsch

8.
falsch
wahr

9.
falsch
falsch

10.
wahr
wahr

von **oRk-Flow** » 07.02.08 18:59

(1)
Beim MC-Teil bin ich nicht so firm, da muss ich immer einiges raten, haette aber folgendes angekreuzt:
w/f
f/w
w/w
f/w
w/f
w/w
w/f
f/w
f/f
w/w

(2)
Also ich hab es mit verschiedener Pivotisierung gerechnet und mit deiner Variante auch ein anderes ergebniss bekommen.
Entweder ich habe da was falsch verstanden, oder... warum aendert sich deine neue erste Zeile? Hast du irgendwo rueckeingesetzt?

Ausserdem ist die Aufgabe um klassen einfacher, wenn du gar nicht pivotisierst...

a)
P=I

$L = \left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -3/4 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{array} \right)$

$R = \left( \begin{array}{ccc}4 & 16 & -12 \\ 0 & 12 & -23 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right)$

b)
Ohne Pivotisierung kommt det(A)=96

c)
PAx=Pb
=>LRx=Pb
y=Rx
=>Ly=Pb

$y = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -11 \\ 2 \end{array} \right)$

$x = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$

EDITH: und die naechste korrektur... damit stimmt dann auch die probe... sry fuers verfruehte posten...
Das ist allerdings Spaltenpivotisierung aussen vor gelassen...
dann muesste man spalte 1&2 noch tauschen oder so... da wirds allerdings wieder ne ganze ecke chaotischer...

Und hier nochmal mit einfacher Spaltenpivotisierung
a)

$P = \left( \begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

$L = \left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3/2 & -2 & 1 \end{array} \right)$

$R = \left( \begin{array}{ccc}16 & 4 & -12 \\ 0 & -3 & -14 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right)$

b)
det(A)=-96

c)
PAx=Pb
=>LRx=Pb
y=Rx
=>Ly=Pb
...

von **Quinie** » 07.02.08 19:24

von **Quinie** » 07.02.08 20:01

Probeklausur
zur 7)
Wenn ich das richtig verstehe:
y"=t²y'+2y
y^k=(1,1)
k1=f(0(1,1))=(1,2)
k2=f(1((1,1)+1*(1,2))=f(1(2,3))=(3,7)
y^(k+1)=(1,1)+1/2((1,2)+(3,7)=(3, 11/2)

Kann das?
das verfahre wäre dann explizit?

von **Jupp** » 07.02.08 20:51

ja das verfahren wäre dann explizit, aber das ist nicht DAS explizite-Euler-Verfahren.

explites Euler Verfahren:
y_k+1 = y_k + h * f (x_k, y_k)

implizites Euler-Verfahren:
y_k+1 = y_k + h * f (x_k+1, y_k+1)

hab dann bei der a nach dem ersten schritt:
(2,-1)
nach dem zweiten Schritt:
(3/2, -2)
bei der b:
(4/5, -1/5)

zu aufgabe 2)

da kommt (-2, 1, 1) raus, und detA = detP^-1 * detL * detR = (-1)^AnzahlVertauschungen * detR = 96

zu Aufgabe 1)
w / f
f / w
w / w
f / w
w / f
w / w
w / f
f / ?
f / f
w / w

bin mir aber nicht überall sicher. z.b weiß ich nicht genau ob eine QR-Zerlegung von nxn-Matrizen eindeutig ist...

von **CrazyPumuckl** » 07.02.08 20:52

das mit det = 96 hab ich auch raus.

von **Jupp** » 07.02.08 21:02

weitere ergebnisse:

Aufgabe 3a:

1.Schritt: (11/3, 1/9, 7/6)

2.Schritt: (109/54, 4/27, 13/18)

3b)

1.Schritt: (11/3, 11/27, 13/18)

Aufgabe 4:

hab ich mit Housholder gemacht weil wir Givens nicht hatten, dann kam bei mir x = (64/5, 13) raus und für das Residuum r = 3/2.

Aufgabe 5:

a) p(x) = 2 - 1/2*x + 1/20*x(x-3)

b) 1/5

c) |p(x) - f(x)| <= 115

von **Quinie** » 07.02.08 21:18

oh ich merke grade meine Aufgaben stammen aus der Probeklausur, UPS

von **padde** » 08.02.08 17:22

Jupp hat geschrieben:Aufgabe 3a:

1.Schritt: (11/3, 1/9, 7/6)

2.Schritt: (109/54, 4/27, 13/18)

3b)

1.Schritt: (11/3, 11/27, 13/18)

Hab ich auch so

Jupp hat geschrieben:Aufgabe 4:

hab ich mit Housholder gemacht weil wir Givens nicht hatten, dann kam bei mir x = (64/5, 13) raus und für das Residuum r = 3/2.

Das Residuum hab ich auch so, allerdings hab ich x = (8/65; 1/13). Müsste eigentlich richtig sein, hab das mit Scilab nachgerechnet.

von **Der_Baz** » 08.02.08 20:08

padde hat geschrieben:Das Residuum hab ich auch so, allerdings hab ich x = (8/65; 1/13). Müsste eigentlich richtig sein

jo, kann ich bestätigen

von **Jupp** » 08.02.08 20:27

ja ihr habt recht, hab mich verrechnet gehabt.. :evil:

von **ClubsieLord** » 08.02.08 20:41

oRk-Flow hat geschrieben:(1)
Und hier nochmal mit einfacher Spaltenpivotisierung
a)

$P = \left( \begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

$L = \left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3/2 & -2 & 1 \end{array} \right)$

$R = \left( \begin{array}{ccc}16 & 4 & -12 \\ 0 & -3 & -14 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right)$

oRk-Flow, ich glaube, du hast die Spaltenpivotisierung falsch verstanden. Man vertauscht nicht die Spalten, sondern die Zeilen. :wink:

Das richtige Ergebnis sollte so aussehen:

$R = \left( \begin{array}{ccc}12 & 24 & 12 \\ 0 & 8 & -16 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

$L = \left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1/3 & 1 & 0 \\ -1/4 & 3/4 & 1 \end{array} \right)$

P ist richtig. Wird übrigens von links an A dranmultipliziert. PA = LR.

oRk-Flow hat geschrieben:b)
det(A)=-96
...

Die Determinante ist und bleibt 96. Die Determinante von A ändert sich nicht.

MfG

von **oRk-Flow** » 08.02.08 21:11

yoyo mit der det(A) hast du recht, hab bisschen schnell gepostet und des Pivot in der berechnung unterschlagen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fs ... otisierung

Dort werden bei der Spaltenpivotisierung durchaus die spalten vertauscht und nicht die Zeilen, was natuerlich auch moeglich ist.

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[NumRech] Klausur SS 2007 Lösungssammlung

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