[AfI] Aufgabe 94

[jogla]

Ich habe mal eine Frage zu der Aufgabe 94.

"mit Hilfe der Differentialrechnung", da habe ich folgenden Ansatz:
Ich interpretiere die beiden Terme auf den beiden Seiten der Ungleichung als Funktionen. Ein Plot der Graphen zeigt, dass die Ungleichung fuer alle x stimmt. Der Beweis ist dann ganz einfach, ich zeige, dass die beiden Graphen den gleichen Tiefpunkt haben und dann mit der Ableitung, dass der vor dem >= schneller waechst. Dann beiweise ich den Fall x < 0 per Symmetrie.

Allerdings ist das gar nicht so einfach. Allein die Ableitung des ersten Graphen (der vor dem >=) nach 0 aufzuloesen finde ich sehr schwierig. Ich habe noch keine Ahnung, wie ich nachher zeigen soll, dass die eine Ableitung auch noch immer groesser ist als die andere.

Gibt es da einen Trick? Das hat sich mir wirklich nicht ganz erschlossen. Bin ich ueberhaupt auf dem richtigen Weg?

Gruss jogla

[aRo]

Ich interpretiere die beiden Terme auf den beiden Seiten der Ungleichung als Funktionen. Ein Plot der Graphen zeigt, dass die Ungleichung fuer alle x stimmt. Der Beweis ist dann ganz einfach, ich zeige, dass die beiden Graphen den gleichen Tiefpunkt haben und dann mit der Ableitung, dass der vor dem >= schneller waechst. Dann beiweise ich den Fall x < 0 per Symmetrie.

habe ich so ähnlich gemacht. ich habe allerdings gezeigt, dass sich die beiden Graphen bei x=0 berühren, dass dann die eine für x>= schneller steigt und den Fall für x<0 über die Symmetrie begründet.

Sicherlich ist es auch möglich eine Differenzfunktion zu betrachten, wie er es ja in der Globalübung gemacht hat.

[jogla]

Wie hast du denn die Symmetrie gezeigt?

Ich bekomme da mit dem Ansatz f(x) = f(-x) bei dem ersten Term Schwierigkeiten das "-" verschwinden zu lassen.

Gruss Jonathan

[aRo]

nunja, also:

-log(x) = log(1/x)

[jogla]

Ja, und wie willst das "1/" dann wegbekommen?

[aRo]

auf beiden Seiten die e-Funktion anwenden und ganz normal zusammenfassen.

[jogla]

auf beiden Seiten die e-Funktion anwenden und ganz normal zusammenfassen.

Kannst du mir mal eine Beispiel geben?

Ich verstehe es nicht ganz.

Wenn ich f(x) = 1+xlog(x + sqrt(1+x^2)) habe, und zeigen will, dass es symmetrisch ist, dann habe ich ja folgendes:

1 - xlog(-x + sqrt(1+x^2)) = 1+xlog(x + sqrt(1+x^2))

<=> 1 + xlog(1/(-x + sqrt(1+ x^2))) = 1+xlog(x + sqrt(1+x^2))

Und nun?

Gruss Jogla

[aRo]

Beispiel:

log(x) = 5 <=> e^(log(x)) = e^5 <=> x = e^5


Bei dir vorher natürlich noch am besten die 1 auf beiden Seiten vorher rausschmeißen.