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von **$veno** » 10.01.08 01:33

Hallo!

Sitze gerade an der Übung 10 und es hapert bei den ersten 3 Aufgaben an der Aufstellung des Fundamentalsystems, genauer - an der Berechnung der hauptvektoren. Ich dachte die Hauotvektoren lassen sich dadurch bestimmen, indem ich einfach alle komplexen Eigenwerte bestimme, aber ich bekomme z.B. direkt bei der Aufgabe 1 für det(A-lambda*I) ein Polynom dritten Grades heraus, welches sich nicht lösen lässt und es lässt sich auch keine Lösung erschauen, um dann mit Polynomdivision weitere Nullstellen zu berechnen. Das selbe Problem gibt es bei Aufgabe 2 und bei Aufgabe 3, bekomme ich zwar die Eigenwerte heraus, aber einer der Eigenwerte, nämlich 1 besitzt eine algebraische Vielfachheit von 2, aber eine geometrische von nur 1, weswegen mir hier auch wieder ein Hauptvektor fehlt.

Hab zwar ein bisschen gegoogelt, und gesehen, dass es Hauptvektoren n-ter Stufe gibt, aber kam sowas in der VL dran? Wie geht man da jetzt vor?

Gruß Sven

von **oxygen** » 10.01.08 07:05

Bei ein höheren algebraischen Vielfachheit musst du die Hauptvektoren höhere Stufe bestimmen.

von **$veno** » 10.01.08 12:38

oxygen hat geschrieben:Bei ein höheren algebraischen Vielfachheit musst du die Hauptvektoren höhere Stufe bestimmen.

Danke, das hab ich inzwischen auch ergoogelt und gemacht. Aber leider hab ich keine Ahnung, wie ich die Hauptvektoren ermittle, wenn ich nichtmal die Eigenvektoren berechnet kriege!

von **MartinM** » 10.01.08 14:31

Bei Aufgabe 1 war das Char.Pol. bei mir direkt faktorisiert und ich hab 2 Eigenwerte, wovon einer die algebraische Vielfachheit 2 hat.
Also 2 Hauptvektoren 1. Stufe und ein Hauptvektor 2. Stufe.

Bei Aufgabe 2 musste ich raten und hab -2 raus. Aus dem Restpolynom (nach Polynomdivision) konnte ich keine Nullstellen mehr rauskitzeln.
Also nur ein Hauptvektor ==> Fundamentalsystem und Wronksi-Matrix schön klein.
Kann das sein?

von **ClubsieLord** » 10.01.08 15:20

MartinM hat geschrieben:Bei Aufgabe 2 musste ich raten und hab -2 raus. Aus dem Restpolynom (nach Polynomdivision) konnte ich keine Nullstellen mehr rauskitzeln.

Ich glaube, du musst auch die komplexen Nullstellen betrachten. Da habe ich $1 \pm i$ raus.

MfG

von **philipp** » 10.01.08 19:29

Bei mir kommen da komplexe Eigenvektoren raus.
Da kann man irgendwie nicht so viel sinnvolles machen. Also meine Wronski Matrix

$\left(\begin{matrix}e^{-2t} & -2i\cdot e^t \cos(t) & 2i\cdot e^t \sin(t) \\ -e^{-2t}\ & (1-i)\cdot e^t \cos(t)\ & (1+i)\cdot e^t \sin(t) \\ e^{-2t} & e^t \cos(t) & e^t \sin(t)\end{matrix}\right)$

scheint falsch zu sein...

von **ClubsieLord** » 12.01.08 23:31

Also unsere Matrix sieht so aus:

$\begin{pmatrix} e^{-2t} & 2e^{(1+i)t} & 2e^{(1-i)t} \\ -e^{-2t} & (1+i)e^{(1+i)t} & (1-i)e^{(1-i)t} \\ e^{-2t} & ie^{(1+i)t} & -ie^{(1-i)t} \end{pmatrix}$

Kann das eventuell jemand bestätigen?

MfG

von **Commo** » 13.01.08 13:14

ClubsieLord hat geschrieben:Also unsere Matrix sieht so aus:

$\begin{pmatrix} e^{-2t} & 2e^{(1+i)t} & 2e^{(1-i)t} \\ -e^{-2t} & (1+i)e^{(1+i)t} & (1-i)e^{(1-i)t} \\ e^{-2t} & ie^{(1+i)t} & -ie^{(1-i)t} \end{pmatrix}$

Kann das eventuell jemand bestätigen?

MfG

Ist das Aufgabe 2? Dann fast.. Habe bei v2 und v3 in der ersten Komponente noch nen i drin und dafür bei der letzten Komponente kein i.. Überprüf das nochmal. Einfach mal mit Maple with(LinearAlgebra); Eigenvectors(A) rumspielen..

Hat jemand schon die dritte Aufgabe gemacht? Bekomme da irgendwie ein Gleichungssystem mit Widersprüchen heraus. Und zwar genau bei $w(0) \cdot C = y_0$ . Stimmt das? Was ist dann zu tun?

von **MartinM** » 13.01.08 21:44

Commo hat geschrieben:Hat jemand schon die dritte Aufgabe gemacht? Bekomme da irgendwie ein Gleichungssystem mit Widersprüchen heraus. Und zwar genau bei $w(0) \cdot C = y_0$ . Stimmt das? Was ist dann zu tun?

Habe dort auch einen Widerspruch. Vielleicht ist die Formel auf der Folie falsch?
Wenn man bei der Berechnung von y3(t) mit dem Hauptvektor der Stufe 2 namens v statt
$e^{\lambda t} [w + tv]$
hiermit rechnet:
$e^{\lambda t} [tw + v]$
kommt man weiter und kann die Aufgabe zu Ende rechnen. (wobei w dann der dazugehörige Hauptvektor 1. Stufe ist)

Das passt auch zu den Informationen, die auf Wikipedia stehen: Lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Dort ist yi(x) nämlich anders definiert!
(wobei mir das auch nicht ganz einleuchtet. ich sehe nur noch Widersprüche :borg:

)

von **Commo** » 14.01.08 12:24

Wie ist das mit komplexwertigen Eigenwerten? Muss man immer umrechnen in sin/cos? Wann ist das am besten geeignet? Kann man nicht einfach immer mit i rechnen und wenn man am Ende die Lösung hat einsetzen? Glaube ich kann besser mit i rechnen als mit sin/cos. Es gilt -i = sin, i = cos, oder?

von fw » 14.01.08 13:19

Commo hat geschrieben:Es gilt -i = sin, i = cos, oder?

Was soll das bedeuten? Sinus und Cosinus sind Abbildungen, i ist eine komplexe Zahl. Wie soll das das selbe sein?

Du meinst vermutlich die Darstellung komplexer Zahlen in Polarkoordinaten

von **Fighter_MV** » 14.01.08 17:01

Also wir haben jetzt alle Hauptvektoren, wissen aber nicht wie wir nun diese Wronski Matrix erstellen.

Kann das vielleicht jemand kurz erläutern?

Danke im Vorraus!

von **Christopher.Schleiden** » 14.01.08 17:21

Commo hat geschrieben:
ClubsieLord hat geschrieben:Also unsere Matrix sieht so aus:

$\begin{pmatrix} e^{-2t} & 2e^{(1+i)t} & 2e^{(1-i)t} \\ -e^{-2t} & (1+i)e^{(1+i)t} & (1-i)e^{(1-i)t} \\ e^{-2t} & ie^{(1+i)t} & -ie^{(1-i)t} \end{pmatrix}$

Kann das eventuell jemand bestätigen?

MfG

Ist das Aufgabe 2? Dann fast.. Habe bei v2 und v3 in der ersten Komponente noch nen i drin und dafür bei der letzten Komponente kein i.. Überprüf das nochmal. Einfach mal mit Maple with(LinearAlgebra); Eigenvectors(A) rumspielen.

Kann das noch jmd bestaetigen? Ich haette naemlich nach meinen ersten Versuchen auch die Matrix aus "ClubsieLord"s Post heraus.

von **$veno** » 14.01.08 18:49

Probiert doch einfach aus, die Vektoren einzelnd abzuleiten und dann in die Differentialgleichung einzusetzen. Wenn beides das gleiche ergibt, ist eure Wronsky Matrix richtig.

Ich habe im übrigen folgende Matrix raus:

$\begin{pmatrix} e^{-2t} & -2ie^{(1+i)t} & 2ie^{(1-i)t} \\ -e^{-2t} & (i-1)e^{(1+i)t} & (1+i)e^{(1-i)t} \\ e^{-2t} & e^{(1+i)t} & e^{(1-i)t} \end{pmatrix}$

Diese Matrix ist auf jeden Fall richtig, weil ich sie mit obrigen Verfahren getestet habe.

Und bei Aufgabe 3 tritt bei mir kein Widerspruch auf, alles so wie es sein sollte.

Gruß Sven

von **MartinM** » 14.01.08 19:09

$veno hat geschrieben:Und bei Aufgabe 3 tritt bei mir kein Widerspruch auf, alles so wie es sein sollte.

Dann verate uns doch bitte mal deine Hauptvektoren.
Ich habe
(1, 0, 1)^t
(-1, 2, 1)^t
(1, 1, 1)^t

Letzterer ist der Hauptvektor der Stufe 2.

Daraus folgt:
y1(t) = e^(1*t) * v1
y2(t) = e^(-1*t) * v2
y3(t) = e^(1*t) * [v1+t*v3]

w(t0)*c0 = y0:
$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot c0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$

=> Widerspruch im Gleichungssystem

edit: hab die matrix falsch abgetippt gehabt. jetzt wirklich widerspruch!

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[NumRech] Übung 10: Hauptvektoren

Übung 10: Hauptvektoren