[AfI] Uebung 7, Aufgabe 53.2

[jogla]

Ich habe hier D angekreuzt und das war falsch.
Richtig gewesen waere B. B waere meine zweite Wahl gewesen, aber ich glaube, dass D auch richtig ist, und das D groesser ist.

B besteht nur aus den Schnittpunkten, ist also eine sehr kleine Menge.
D ist groesser. D besteht aber aus lauter Punkten, so wie auch das sehe. Und eine Funktion ist in jedem isolierten Punkt stetig laut Seite 28 (erster Absatz) im Script. Ausserdem liegt zwiechen zwei irrationalen Zahlen immer eine aus Q, das finde ich gerade nicht im Script, steht aber relativ weit vorne drin. Nun, wenn zwischen zwei irrationalen Zahlen immer eine rationale ist, dann besteht ja D aus lauter isolierten Punkten und ist dann stetig. Warum ist denn D trotzdem falsch?

Gruss Jonathan

[aRo]

Wenn du dir auf Seite 28 die Bedingung für einen isolierten Punkt anschaust (das mit der Umgebung um den Punkt), dann wirst du feststellen, dass das gar keine isolierten Punkte sind. Denn du kannst so eine Umgebung nicht finden, aus dem Grund, den du selbst genannt hast.
So stelle ich mir das vor.

[jogla]

Aua, dass heisst, wenn der Definitionsbereich nicht IR waere, sondern IR\IQ, dann waeren es isolierte Punkte.

Hmm.. danke.

[MartinL]

Nein auch dann nicht.

Du kannst für beliebig kleine Umgebungen um eine irrationale bzw. rationale Zahl immer unendlich viele irrationale bzw. rationale Zahlen (oder auch gemischt) finden, die in dieser Umgebung drin liegen.