[NumRech] Übung 6 - Aufgabe 2: Banachscher Fixpunktsatz

[$veno]

Hallo!

Bei dieser Aufgabe habe ich das Nullstellenproblem in das äquivalente Fixpunktproblem überführt:
x = 2xy^3-11x+1
y = x^2+2y^2-8y

Aber es ist auf dem Intervall [0,1] x [0,1] nicht selbstabbildend. Mache ich irgendwas falsch???

Gruß Sven

[Fighter_MV]

Die Aufgabenstellung war ja:




Ich glaube beim Fixpunktsatz muss man erst mal eine Gleichung nach x und eine nach y auflösen (so war es zumindest in der Großgruppenübung und steht es auch in Aufgabe 1)

Dann käme ich auf die Gleichungen:




Damit würde es funktionieren. Habe aber keine Garantie auf Korrektheit

[David]

So hab ich das auch gemacht. Dann ist die Funktion auch selbstabbildend.
Gruß David

[philipp]

Soll man bei dieser Aufgabe nun das Gleichungssystem loesen, oder nicht?
Oben drueber steht ja "Zu loesen ist ..."
Unten steht dann "Zeigen Sie, dass ... genau eine Lsg besitzt"

Also sollen wir nun darauf eine Fixpunktiteration durchfuehren?

[volok]

hallo ich suche übungspartnern!
allein schaffe ich nicht weiter !!

[Quinie]

Soll man bei dieser Aufgabe nun das Gleichungssystem loesen, oder nicht?
Oben drueber steht ja "Zu loesen ist ..."
Unten steht dann "Zeigen Sie, dass ... genau eine Lsg besitzt"

Also sollen wir nun darauf eine Fixpunktiteration durchfuehren?

Das frage ich mich auch

[Commo]

Ich frag mich nur, worüber ihr redet^^

[Miss*Sunflower]

Hallo, ich greife den Thread nochmal auf, da ich mal eine Frage zur Selbstabbildung habe.

In einer der Musterlösungen, die wir hier im Forum haben habe ich versucht nachzuvollziehen, was beim Prüfen von Selbstabbildung zu machen ist. Im Prinzip ist es mir irgendwie klar, aber ich bin mir da nicht so sicher. Könnt ihr mir das Verfahren bitte nochmal erklären?

[Miss*Sunflower]

*nochmalpush* kann mir jemand eine Antwort geben?

[heipei]

Du guckst einfach ob für alle Funktionswerte die du einsetzen kannst auch wieder was raus kommt was im ursprünglichen Definitionsbereich liegt. Also du hast ja durch das Umstellen dann gegeben: x=1/6xy^3+1/12 und y=1/8x^2+1/4y^2 und als Definitionsbereich: [0,1] x [0,1]
Jetzt sind die Funktionen ja zum Glück einfache Polynom und auf [0,1] stetig und str monoton steigend, so dass du einmal x=0 (=> f(x) = 1/12) und x=1 (und dann halt y so einsetzen dass der Wert maximal wird, also y=1, => f(x) = 1/4). Also hast du für die Werte die die x-Komponente annehmen kann schonmal den Bereich [1/12,1/4] der ja definitiv ein Teil von [0,1] ist. Das Gleiche noch für y machen.
Klar? Ist alles ein bisschen blöd ausgedrückt.

[ClubsieLord]

Ich würde es kurz und prägnant so formulieren: f ist eine Selbstabbildung genau dann, wenn der Bildbereich von f eine Teilmenge des Definitionsbereichs von f ist.



Also genau das, was heipei gesagt hat. Vielleicht ist es so etwas übersichtlicher.

MfG

[heipei]

Yep, wollte es nur ausführlich machen weil ich weiss dass es für Abbildungen mit mehreren Veränderlichen vielleicht etwas verwirrender ist.

Cooler Avatar btw

[Miss*Sunflower]

Also genau das, was heipei gesagt hat. Vielleicht ist es so etwas übersichtlicher.

Für mich leider nicht

Ja, prinzipiell ist es mir klar, was gemacht wird, nur welche Werte ich ensetzen muss, dass ist also so ne Glücks-/Geschicklichkeitssache, oder? Also einfach Werte finden, die die Funktion maximal/minimal machen, ja?
(Sieht in den Übungsaufgaben nämlich immer so willkürlich gewählt aus )

[CrazyPumuckl]

wie gesagt, meist sind die fkt. monoton steigend /fallend. allgemein haste z.b. sowas:

für x: x-y abschätzen:
1.) x-y <= x gaaanz groß machen, y gaaaanz klein machen (weil du ja was abziehst)
2.) x-y >= x gaaanz klein machen, y gaaanz groß machen.

und dann die funktion für y anschauen und analog vorgehen.

mit gaanz klein meine ich einfach den kleinsten zulässigen wert einsetzen (bzw für gaanz groß: den größten zulässigen wert)

[heipei]

Wenn du eine skalare Funktion untersuchst machst du es ja auch nicht anders. Wenn du eine bestimmte Eigenschaft beweisen soll hast du entweder Glück und kannst sagen "die Funktion ist auf dem ganzen Intervall stetig und str. monoton irgendwas" oder wenn die Funktion Abschnittsweise definiert ist guckst du dir halt die Abschnitte einzeln an. Gibt da kein Allgemeinrezept meiner Meinung nach.