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von **Alexander Urban** » 04.11.07 19:33

Hallo,

die Formalismen der vollst. Induktion sind klar, nur bei der Teilaufgabe (2) stehe ich voll auf dem Schlauch.
Ich habs umgeformt bis
$\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{i}} \ge \frac{n}{2 \sqrt{n+1}$
und weiÃŸ jetzt grad nicht weiter...
Any Ideas, anyone?

EDIT: Kleiner Typo mit groÃŸer WIrkung... :roll:

EDIT2:
Es wÃ¼rde auch reichen zu zeigen dass
$\sqrt{n} \ge \frac{n}{2 \sqrt{n+1}}$

von **MartinL** » 04.11.07 21:27

von **Alexander Urban** » 04.11.07 23:23

Danke. Jetzt wird's klarer...

von **Chrizzo** » 07.11.07 00:15

argh, Alex...wie komsmte darauf? ^^
also vielmehr wie kommste auf die rechte Seite? krig das i-wie so nicht umgeformt =/

von **Alexander Urban** » 09.11.07 01:39

Sei $f(n) = \frac{1}{\sqrt{1}} +\frac{1}{\sqrt{2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n}}.$

So gilt:
$f(n) > \sqrt{n} \rightarrow f^2(n) > n$

$f(n+1) = f(n) + \frac{1}{\sqrt{n+1}} > \sqrt {n+1} \rightarrow f^2(n+1) = f^2(n) + \frac{2f(n)}{\sqrt{n+1}} + \frac{1}{n+1} > n+1$

Jetzt schmeiÃŸt du das fÂ²(n) von oben aus der Ungleichung raus; fÃ¼r n+1 gilt es also, wenn
$\frac{2 f(n)}{\sqrt{n+1}} + \frac{1}{n+1} \ge 1$

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[AfI] Aufgabe 27

Aufgabe 27