[LA] Vektor zu OG-Basis ergänzen

[PsY]

Hi!

In der letzten Fragestunde, hat Herr Hanke noch 3 Aufgaben zum rechnen gestellt. Eine davon war, dass ein Vektor v gegeben war. Diesen soll man zu einer OG-Basis des IR^3 ergänzen, wie mache ich das?

Nehm ich dazu einfach zwei weitere Vektoren (z.B. e2 und e3 des IR^3) und wende Gram-Schmidt an?

Müssen die gewählten Vektoren l.u. zu v sein?

MfG

PsY

[Tommytb]

Müssen die gewählten Vektoren l.u. zu v sein?

Den Rest weiss ich nimmer genau, aber bei ner Basis, auch ne orthogonale, besteht immer aus l.u. Vektoren Du sollst die Menge ja zur Basis erweitern, v is schon drin...


Wobei... zum Rest... du könntest das auch einfach mit Gleichungssystemen lösen, indem du anwendest, dass das Skalarprodukt immer = 0 sein muss wenn du Vektoren aus B multiplizierst...

[p0llux]

Hallo,

[...]Eine davon war, dass ein Vektor v gegeben war. Diesen soll man zu einer OG-Basis ergänzen.

Mir entzieht sich spontan die Vorstellung wozu das gut sein sollte, also bitte ich hiermit um Aufklärung bezüglich des Sinnes der Aufgabenstellung

Nach Wikipedia erzeugt der Gram-Schmidt'sche Orthogonalisierungsalgorithmus aus einem System von linear unabhängigen Vektoren eine Orthogonalbasis die den gleichen Unterraum erzeugt und so.

Also denke ich du musst mit l.u. Vektoren ergänzen, aber ich habe nicht die geringste Ahnung. Es könnte auch sein, das gemeint ist, daß der gegebene Vektor Teil der neuen Basis sind soll. In dem Fall würde ich mich meinem Vorredner anschließen, oder eine Rotationsmatrix berechnen und eine ONB so rotieren und skalieren (siehe CG1), dass einer der drei Einheitsvektoren auf den gesuchten Vektor fällt

[paganlord]

Eine Basis ist ein minimales, linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Wenn Du einen Vektor gegeben hast, dann konstruierst Du so lange linear unabhängige Vektoren dazu, bis es keine mehr gibt, damit hast Du eine Basis.
Wenn Du einen 3x1 Vektor hast und eine Basis für den 3x3 VR finden sollst, dann probier z.B. die Standard-Basisvektoren dazuzuschreiben.
z.B. sei (3, 2, 1) Dein Vektor, dann nimm noch e2 und e3 und Du hast Deine Basis, weil man mit denen die 2 und 1 nullen kann und die 3 linear unabhängig bleibt.

Wenn das Ding dann eine O[G|N]B sein soll, dann machste Gramschmidt auf Deine Basis und bist fertig.

[Tommytb]

er meint sicher den R^3 VR, nicht den 3x3

[paganlord]

äh, ja, den meine ich. Für den 3x3 müsste man halt Matrizen als Basisvektoren nehmen