[LA] Klausur Hanke, erster Versuch

[David]

Hey!

1.) Könnte mir jemand sagen, wie Aufgabe 4a, der zweite Teil, zu lösen ist? Also die Bestimmung einer Matrix B, so dass die lineare Abbildung Psi: x->Bx als Kern genau Bild von Phi hat.

2.) Könnte jemand die Abbildungsmatrix bzgl. der Standardbasis angeben, die er bei Aufgabe 5b raus hat.

3.) Wie berechne ich ganz allgemein die Spiegelachse bei einer Spiegelabbildung?

Dank und Gruß, David

[Tommytb]

3.) Wie berechne ich ganz allgemein die Spiegelachse bei einer Spiegelabbildung?

Spiegelabbildungen bilden immer den Nullpunkt auf den Nullpunkt ab, also geht die Spiegelachse da durch. dann brauchst du noch ne Richtung. Die erhälst du z.B., wenn du ein Urbild mit dessen Bild addierst. Also x + f(x) = Richtungsvektor, schon hast du die Spiegelachse raus.

[PsY]

sorry, aber steh immernoch aufm schlauch, kannst das vlt. mal an nem beispiel verdeutlichen?

MfG

PsY

[p0llux]

Also die "Richtung" ist in dem Fall ein Normalvektor, wenn ich das richtig verstanden habe. Man könnte theoretisch auch nen zweiten Punkt auf der Achse suchen für den gilt x=f(x) und die Gleichung dann nach x auflösen. Der Nullpunkt und das x spannen dann die Achse auf.

[der-cain]

weiss noch jemand was zu den anderen punkten, das würde mich nämlich auch mal interessieren...

[Tim]

also 5b) hab ich 1/5 * (-4 3; 3 4) raus ( ; = neue Zeile)

[paganlord]

1.) Könnte mir jemand sagen, wie Aufgabe 4a, der zweite Teil, zu lösen ist? Also die Bestimmung einer Matrix B, so dass die lineare Abbildung Psi: x->Bx als Kern genau Bild von Phi hat.

Das entspricht einer Decodierungsabbildung, wie wir sie bei Codes hatten. Kam in den letzten beiden Vorbereitungsstunden nochmal dran

Man codiert ja einen Vektor v über eine Abbildung gamma: v |-> G*v = c
(G = Generatormatrix, c = Codewort). Die Decodierung muss also c |-> B*c = v sein.
B muss sein: B*G = E. Wenn G nicht quadratisch ist (oft bei Codes), muss man das umrechnen zu G^t * B^t = E^t = E, ansonsten tuts auch die Inverse zu G.
B ist übrigens nicht eindeutig, Du kannst es so berechnen wie die spezielle Lösung eines inhom LGS.

2.) Könnte jemand die Abbildungsmatrix bzgl. der Standardbasis angeben, die er bei Aufgabe 5b raus hat.

hab ich jetzt noch nicht gerechnet, mach ich aber noch. Für eine Klausur von prof Hiss gibts eine Musterlösung auf s-inf, da kommt auch eine Abb-Matrix, bzw Basiswechselmatrix vor, kannst ja schauen ob Dein Rechenweg so ist wie da.

3.) Wie berechne ich ganz allgemein die Spiegelachse bei einer Spiegelabbildung?

Es gibt doch eine Spiegelmatrix mit sinus und cosinus usw drin. Ich würde mal tippen, dass Du die Matrix mit der Spiegelmatrix multiplizierst, dann bekommst Du wahrscheinlich einen Vektor raus, der die Spiegelachse ist, oder? Ich hab die Matrizen grad nicht vor mir.

[Tim]

Die Spiegelachse ist der Vektor der nicht gespiegelt wird => Eigenvektor.
Meine Spiegelachse ist (1 3)^t. Kann das jemand verifizieren?

[paganlord]

also 5b) hab ich 1/5 * (-4 3; 3 4) raus ( ; = neue Zeile)

Sicher? Die Eingabebasis ist B := <(1,1), (1,-1)> und die Ausgabebasis ist C := <e1, e2>
Die Abbildungsmatrix ist (direkt ablesbar) (-1/5, -7/5; 7/5, -1/5). Für einen Basiswechsel zu C muss man doch gar nichts mehr machen, weil man mit den Einheitsvektoren multiplizieren müsste, wobei wieder die Matrix rauskommt...?

Oder schreib mal die Schritte auf wie Du es gerechnet hast.

Ich bezieh mich hier drauf:
Da wird die Matrix A mit der Basis B multipliziert und durch die Basis C dargestellt (Aufgabe 12):
http://www2.s-inf.de/Skripte/LA1.2001-WS-Hiss.(KR).SK2_Loesungsideen.pdf
http://www.math.rwth-aachen.de/homes/Kl ... 02_s2l.pdf
Die Abbildungsmatrix erspart bei unserer Aufgabe ja schon das Multiplizieren mit der Basis B und für C gibts doch nichts zu machen.
Bin grad verwirrt.
Leider finde ich auch kein komplett durchgerechnetes Beispiel im Netz und in meinen Büchern, das ist zum heulen.

[Tim]

Also: Ich hab das so gemacht

sei p = phi und ; = neue zeile

p(1;1) = (-1/5;7/5) p(1;-1)=(-7/5;-1/5)

=>p(e_1) + p(e_2) = -1/5e_1 + 7/5e_2 (1)
p(e_1) - p(e_2) = -1/5e_1 - 7/5e_2 (2)

(1) + (2)

=> 2p(e_1) = -8/5e_1 + 6/5e_2
p(e_1) = -4/5e_1 + 3/5e_2

in 1) p(e_2) = -1/5 e_1 + 7/5e_2 -p(e_1)
= 3/5e_1 + 4/5e_2



M = (-4/5 3/5; 3/5 4/5)

gab auch mal ne rechen aufgabe bei ner Hiss klausur die musste man genau so lösen

[Tim]

Kannst du vielleicht mal die 4 a) zweiter teil vorrechen, ich bekomm das immer noch nicht auf die reihe :/?

[p0llux]

Klicki-Bunti

[Tommytb]

Die Spiegelachse ist der Vektor der nicht gespiegelt wird => Eigenvektor.
Meine Spiegelachse ist (1 3)^t. Kann das jemand verifizieren?

Wie gesagt, x+f(x) tuts da genauso... kA was da jetzt genau rauskommt... kann man sich ja auch graphisch veranschaulichen..

[blightzero]

Die 4a zweiter Teil habe ich so grlöst:

Auf die Matrix A mit a=-7 Spalten-Gauss:

1 2 2 -> 1 3 9 -> 1 3 0
1 3 4 -> 1 4 12 -> 1 4 0
1 -1 -7 -> 1 0 0 -> 1 0 0

d.h. die Basis des Bilds von A ist: < (1;1;1),(3;4;0)>

also:

1 1 1 -> 1 1 1 -> 1 0 4
3 4 0 -> 0 1 -3 -> 0 1 -3

Nach dem bekannten Schema, also ergänze ich das mit der Inversen Einheitsmatrix. und erhalte die einzige nicht Null Zeile von B.
(4 -3 -1)

Was ist bei der 5 den jetzt richtig? Ich finde die Aufgabe der Hiss Klausur nicht.

mfg Ben

[p0llux]

Ich finde die Aufgabe der Hiss Klausur nicht.

Hiß Klausur? Moooment mal! Da kann ich helfen Lösungen