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von **mirko** » 11.08.07 11:29

hallo,

habe ein problem mit den differentialgleichungen. ich habe da so eine schöne formel zur bestimmung des awp, die auch funktioniert und richtige ergebnisse liefert. leider ist sie etwas lang zum auswendig lernen...

in numrech hatten wir ja irgendwie ein verfahren, wofür man wohl nicht soviel auswendig lernen muss. nur irgendwie hab ich es wohl noch nicht ganz verstanden, es kommt jedenfalls nicht immer das richtige bei raus.

hat jemand dazu materialien, oder kann mir jemand sagen, wo mein fehler liegt? ich habe das so verstanden:

1. inhomogenen teil wegschmeißen, es bleibt das problem: y_h'=a(x)*y_h
2. umformen zu: [tex]y_h=c*e^{\integral a(x)dx}
3. variation der konstanten: y_p=c(x)*e^{\integral a(x)dx}
4. ableiten (ergibt y_p')
5. y_p' und y_p in als y' und y in ausgangsgleichung einsetzen
6. nach c'(x) auflösen
7. integrieren (ergibt c(x) )
8. c(x) in 3. einsetzen
9. y=y_h + y_p

wenn ich das dann für y'=y+x (blatt 6) mache, bekomme ich ce^x -x +1 raus. die lösung für das awp wäre aber 2e^x -x -1. muss da am ende noch ein +c_2 dahinter? wenn ja, wo kommt es her, und wie rechne ich hinterher die beiden konstanten aus?

vielen dank schonmal

mirko

von **Sheol** » 11.08.07 12:57

meiner meinung ist bei punkt 3 ein fehler drin. eigentlich möchtest du bei einer dgl der form:
$y'=a(x)y + b(x)$
rechnen:
$y_p=y_h\cdot \left (c+\int_{x_0}^{x} \frac{b(t)}{y_h(t)} dt \right)$
wobei $y_h = exp ( \int_{x_0}^{x}a(t) dt)$
damit bekommst du:
$y_h = e^x$
und
$y_p = ce^x -x -1$
Für das AWP mit
$y(0)=1$
gilt dann also:
$y= -x-1$

von **p0llux** » 11.08.07 14:07

Falls es hilft, ich hab' aus grauen Vorzeiten noch ein PDF rumliegen mit den Verfahren aus DiffNum [PDF].

Gesuchtes findet sich unten auf Seite 5.

von **mirko** » 11.08.07 15:54

Sheol hat geschrieben:meiner meinung ist bei punkt 3 ein fehler drin.

hm, die wu wien (http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/ ... de182.html, 2. abschnitt 1. formel) meint, dass das richtig wäre (das minus da kommt, weil die die formel inner anderen reihenfolge da stehen hatten). interessanter weise funktioniert die methode auch für das dort angegeben bsp...

Sheol hat geschrieben:eigentlich möchtest du bei einer dgl der form:
$y'=a(x)y + b(x)$
rechnen:
$y_p=y_h\cdot \left (c+\int_{x_0}^{x} \frac{b(t)}{y_h(t)} dt \right)$

wo hast du das her? und wie komme ich drauf, ohne es auswendig zu lernen?

Sheol hat geschrieben:wobei $y_h = exp ( \int_{x_0}^{x}a(t) dt)$

hm, ich hatte das c immer in y_h - naja was solls...

Sheol hat geschrieben:damit bekommst du:
$y_h = e^x$
und
$y_p = ce^x -x -1$
Für das AWP mit
$y(0)=1$
gilt dann also:
$y= -x-1$

letzteres ist aber auch nicht das richtige endergebnis!? oder hast du nur das 2e^x vergessen hinzuschreiben?

von **mirko** » 11.08.07 15:55

p0llux hat geschrieben:Falls es hilft, ich hab' aus grauen Vorzeiten noch ein PDF rumliegen mit den Verfahren aus DiffNum [PDF].

Gesuchtes findet sich unten auf Seite 5.

danke sehr - aber das scheint mir nur für systeme zu sein, oder? ich habe ja nur eine dgl...

von **Sheol** » 11.08.07 17:25

also ich hab die formeln aus der mitschrift von der globalübung (noch ein bischen umgeschrieben)
wenn du es herleiten möchtest:
Du hast die inhomogene DGL:
$y'=a(x)y + b(x)$
Um diese zu Lösen müsstest du die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DGL finden. Also, wie du schon sagtest:
$y'=a(x)y$
Dividiere durch y und berechne auf beiden Seiten das Integral:
$\int \frac{y(t)'}{y(t)}dt = \int a(t) dt +c$
$\Rightarrow ln|y|=\int a(t) dt +c$
$\Rightarrow y=c \cdot exp(\int a(t) dt) =: c \cdot y_h$
Doch was ist mit $c$ ?
Variation der Konstanten bedeutet: Ersetzte $c$ durch eine Funktion in Abhängigkeit von $x$ welche uns dann eine partielle Lösung der inhomogenen DGL liefert.
$C'(x)\cdot y_h = b(x)$
$\Rightarrow C'(x) = b(x)/y_h$
$\Rightarrow C(x) = c+\int \frac{b(t)}{y_h(t)} dt$
Die allgemeine Lösung der DGL ergibt sich jetzt aus der Summe der Lösung der homogenen und die partielle Lösung der inhomogenen DGL die wir gerade gefunden haben
$y=C(x)+c\cdot y_h$
Es bleibt immer noch eine Konstante von unserer homogenen DGL übrig. Diese bestimmen wir mit unserem Anfangswert. $y(x_0)$
Wert $x_0$ einsetzten und die DGL mit $y(x_0)$ gleichsetzten, nach $c$ auflösen und fertig.
ich hoffe, dass hilft dir. ist sicher nicht 100%ig korrekt, aber mehr gedanken würde ich mir jetzt auch nicht darüber machen. der artikel:
http://matheplanet.de/extra/Differentialgleichungen.pdf ist auch ganz nett.

von **mirko** » 11.08.07 18:24

hm, also ich weiß nicht, worin sich dieses dokument nun effektiv von dem von der wu wien unterscheidet - aber irgendwie funktioniert es, also mach ich es jetzt danach

vielen dank!

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[NumRech] Variation der Konstanten

Variation der Konstanten