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von **$veno** » 16.07.07 09:12

http://www.math.rwth-aachen.de/homes/Kl ... 1_02_v.pdf

Hab mich mal an den Beweisen versucht. Ich finde 3 davon gut machbar, aber bei der 12) hab ich keine Ahnung.
Intuitiv würde ich sagen das gilt nur für n=1.
Was kann man da machen?

Gruss Sven

von **CrazyPumuckl** » 16.07.07 09:15

Ja, gilt nur für n = 1. Auf s-inf steht das irgendwo in den "Lösungen" - aber meiner Meinung nach ist das kein Beweis, der ausschließt, dass es für alle n != 1 nicht gilt.

von **$veno** » 16.07.07 09:34

Hmm, find ich auch sehr schwammig.

Wie es aussieht braucht man für die 14 das Minimalpolynom, welches wir nicht gehabt haben und für die 13 braucht man, dass das A_0 vom char. Polynom gleich der Determinante der Matrix ist, das haben wir auch nicht gehabt oder täusche ich mich? Demnach können wir die 13) eigentlich auch garnicht lösen.

Gruss Sven

von **AGo** » 16.07.07 11:46

Die 12 beweist man am geschicktesten (IMHO), indem man zeigt, dass das für n=1 gilt (wichtig, auch wenn einfach isse), und dann ab n=2 per vi widerlegt. Zumindest hab ich´s damals (bei der Klausurvorbereitung) so gemacht

von **MartinL** » 16.07.07 15:47

Ich behaupte an dieser Stelle (vielleicht irre ich mich aber auch), dass es über Q für alle n >= 1 gilt.

der Grund liegt darin, dass A^t * A immer eine symetrische Matrix ist.

Begründung:
Sei $a_j$ die j-te Spalte von A und somit die j-te Zeile von A^t

Sei weiterhin $B = A^t \cdot A$ und $(b_{ij})_{1 \le i \le n, 1 \le j \le n}$

Für die einzelnen $b_{ij}$ gilt nun: $b_{ij} = < a_j , a_i >$ , wobei <> das Standardskalarprodukt bezeichnet. Die j-te Spalte von A wird mit der i-ten Zeile von A^t multipliziert und Komponentenweise aufaddiert. (Definition der Matrixmultiplikation, sowie des Skalarprodukts beachten).

Damit folgt dann: $b_{ij} = < a_j, a_i > = < a_i , a_j > = b_{ji}$ aus der Symetrie des Standardskalarprodukts und somit, dass B symetrisch ist und es gilt $B = B^t$

Damit gilt dann also: $A^t \cdot A = B = B^t = (A^t \cdot A)^t = A \cdot A^t$

und somit (für den Fall, dass ich nichts übersehen habe). Die Aussage für alle n.

von **$veno** » 16.07.07 16:06

MartinL hat geschrieben:Damit gilt dann also: $... (A^t \cdot A)^t = A \cdot A^t$

Und genau hier ist dein Fehler.
Es gilt nämlich:
$(A^t \cdot A)^t = A^t \cdot (A^t)^t = A^t \cdot A$

Habe aber zuerst auch denselben Fehler gemacht. Man muss halt beachten, dass wenn man ein Produkt von Matrizen transponiert, nicht nur die Matrizen einzelnd transponiert sondern auch noch die Reihenfolge vertauscht.
Also:
$(A \cdot B)^t = B^t \cdot A^t$

Gruss Sven

von **MartinL** » 16.07.07 16:11

hm ja ... ist mir wohl bei den ganzen A's nit aufgefallen.

btw der Beweis für die Symetrie ist wohl auch überzogen, wenn ich nicht gepennt hätte, hätt ich gesehen, dass das damit viel einfacher geht.

Damit entsteht aber auch das Gegenbeispiel. bei A^t * A wird ganz oben links die erste Spalte mit sich selbst multipliziert. Bei A * A^t die erste Zeile. da im Allgemeinen die Spalte nicht gleich der Spalte ist kommen hier ungleiche Werte raus

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