[LA] Hiss-Klausur 27.03.06

[$veno]

Also ich hab bei der 6 folgendes raus:

Ker(phi):
( -1 1 )
( 1 -1 ) also als 2x2 Matrix

Basis von Im(phi):
( 1 0 ) ( 1 1 )
( 0 0 ) ; ( 0 0 )


Gruss Sven

[Friedrich]

du hast bei Kern(phi) die Nullmatrix vergessen und im F2 gibt es kein - bzw.: -1=1

[$veno]

Stimmt, ist dann ja -1= 1

Aber die Nullmatrix muss doch nicht dazu, diese ist doch im Erzeugniss von
( 1 1 )
( 1 1 )
mit drin.

Gruss Sven

[CrazyPumuckl]

Und wie hast du das jetzt gerechnet? Wie der Hanke oder auf ne andere Art?

[fw]

Aber die Nullmatrix muss doch nicht dazu, diese ist doch im Erzeugniss von
( 1 1 )
( 1 1 )
mit drin.

Er hat vermutlich gedacht du gibst den Kern explizit an und nicht als Erzeugnis eines einzelnen Vektors. In diesem Fall besteht der Kern nämlich wirklich aus genau zwei Elementen (die von dir genannte Matrix und eben die Nullmatrix).. :-)

[$veno]

Ich weiß zwar nicht, wie es der Hanke gemacht hat, aber ich habs wie folgt gemacht:

Zuerst die Abbildungsmatrix e^M^B von phi bezüglich der Basen B und e aufgestellt wobei:
e =
( 1 0 ) ( 0 1 ) ( 0 0 ) ( 0 0 )
( 0 0 ) ; ( 0 0 ) ; ( 1 0 ) ; ( 0 1 )

b=
( 1 0 ) ( 0 1 ) ( 0 0 )
( 0 0 ) ; ( 1 0 ) ; ( 0 1 )

Und dann bezüglich dieser Matrix den Nullraum bestimmt. Dann bekommt man den Kern von phi bzgl. der Basis B. Einfach noch bezüglich der Standardbasis schreiben und schon hat man den Kern.

Für das Bild von phi, hab ich bei der Abbildungsmatrix Spaltentransformationen gemacht, bis die Matrix in Spaltenstufenform war. Die Spalten ungleich 0 sind dann die Basisvektoren des Spaltenraums der Abbildungsmatrix, also des Bildes von phi bezüglich der Basis e. Da e die Standardbasis ist muss man auch nix mehr umformen.

Gruss Sven

[CrazyPumuckl]

Hm, also meine Abb-Matrix sähe so aus:

1 0 1
1 1 0
0 0 0
0 0 0

wenn ich davon den Kern bestimme bekommen ich t(1,1,1) und was mach ich dann?

für das bild hab ich dann folgende matrix:

1 0 0
1 1 0
0 0 0
0 0 0

wäre dann 1 1 und 0 1
0 0 0 0

aber das ist ja auch falsch

wie sehen dein deine matrizen aus?

[$veno]

Dein Kern ist (1,1,1), aber der ist dann ja noch als Koordinaten von b.
Einfach wieder umwandeln zur Standardbasis und dann bekommeste die korrekte Lösung, also die Matrix, welche an allen Stellen Einsen hat.

Und deine Basis vom Bild ist auch richtig. Sie ist bezüglich der Standardbasis. Als 2x2 Matrizen kommt da dann genau die Basis raus die ich auch raus hab.
Siehe 6 Posts unter deinem!

Gruss Sven und viel Erfolg heute allen!

[PsY]

hi,

also ich versteh das net ganz wie ich das machen soll...

ich hab ja X = (a b)
(b c)

wenn ich dann A*X*B rechne krieg ich X' = (a+2b+c a+b)
( 0 0 )

und wie krieg ich dann die abbildungsmatrix? bzgl. welcher basen denn überhaupt?

MfG

PsY

[rootnode]

Wir sind ja im Z_2.
Und der Kern is ja alles was auf den Nullvektor abbildet.
Also:
a+2b+c + a + b = 0
=> 2a+3b+c=0

Wegen Z_2 ist:
a=c
a+b => a=b
also: a=b=c

Jetzt schreibste alle Matrizen hin die diese Bedingung erfüllen. Sind ja nich viele.
Dann haste den Kern.

Für die Basis des Bildes:
Setze nacheinander: a=1, b=c=0 / a=c=0, b=1 / a=b=0, c=1

Damit erhälste das Bild. Und da kannste dann die 2 Basisvektoren
(1,0,0,0) und (0,1,0,0) ablesen.

dim(V) = 3
dim(bild) = 2
dim(kern) = 1
3 = 2 + 1

Stimmt also