[LA] Hiss-Klausur 27.03.06

[CrazyPumuckl]

Hallo, habe mich bei folgender http://www.math.rwth-aachen.de/homes/Klausuren/Lineare_Algebra_1/Hiss_05_06_vl.pdf Klausur an Aufgabe 7 probiert, habe da folgendes Problem:

Ich habe die Eigenräume bestimmt und folgendes raus:
Eigenwert x1 = 1, EV = (0,0,0)
Eigenwert x2 =-2, EV = t*(-1,1,1)
Eigenwert x3 = 0, EV = u*(1,-1,1)

Man soll jetzt daraus ne Basis für den Q^(3x1) bilden. Wie mache ich das? Für x2 und x3 habe ich ja sozusagen Geraden als Lösungen, die ich selbst ja auch je als ne Basis auffassen kann. Wie sieht dann also ne Basis aus diesen 3 Angaben aus? Ich schließe natürlich nicht aus, dass ich mich verrechnet habe, dennoch würde mich ein solcher Fall wie oben genannt interessieren.

Thx

[Muffi]

Rechne deinen ersten Eigenvektor nochmal nach, der ist mit Sicherheit falsch. Vielleicht auch der zugehörige Eigenwert. Der Nullvektor ist niemals Eigenvektor zu einem Eigenwert. Und dann sieh dir mal die Aufgabe an. Du sollst eine Basis aus Eigenvektoren angeben. Also rechnest du die drei Eigenräume aus und nimmst aus jedem der Eigenräume einen heraus und fertig.

Ohne genauer nachzurechnen, behaupte ich mal, dass du drei verschieene Eigenwerte hast, also hat jeder Eigenraum Dimension 1, du brauchst also nur einen Vektor, um den Eigenraum zu erzeugen. Den kannst du jeweils nehmen, denn Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig.

Edit: noch was: Lös dich am besten von der Vorstellung mit der Gerade, das verwirrt nur!

[CrazyPumuckl]

ok, danke, dann probier ich da nochmal

[fw]

du drei verschieene Eigenwerte hast, also hat jeder Eigenraum Dimension 1

Diese Folgerung ist falsch! Die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes als Nullstelle des charakteristischen Polynoms entspricht im allgemeinen nicht der Dimension des Eigenraums!

(siehe Wikipedia: algebraische Vielfachheit, geometrische Vielfachheit, Eigenwertproblem)

[Muffi]

Aber die Summe der Dimensionen der Eigenräume ist doch der Rang der Matrix?

Außerdem verstehe ich nicht, dass die Folgerung hier falsch ist. Es gibt doch keine Eigenräume mit Dimension 0. Bei drei Eigenwerten gibt es dann drei Eigenräume, jeder hat Dimension >0 und die Summe muss 3 sein. Dann bleibt ja nicht viel anderes in Fällen wie diesen...

[CrazyPumuckl]

so, dann biete ich mal folgende Lösung(smöglichkeit):

EW: -2, 2, 0

Basis B = { (-1,-1,1), (-1,1,1), (1,-1,1) }

[fw]

Aber die Summe der Dimensionen der Eigenräume ist doch der Rang der Matrix?

Außerdem verstehe ich nicht, dass die Folgerung hier falsch ist. Es gibt doch keine Eigenräume mit Dimension 0. Bei drei Eigenwerten gibt es dann drei Eigenräume, jeder hat Dimension >0 und die Summe muss 3 sein. Dann bleibt ja nicht viel anderes in Fällen wie diesen...

Ok, sorry, war ich wohl etwas zu schnell. In diesem Fall ist die Folgerung richtig. Im allgemeinen kann aber sowas vorkommen wie: Einfacher Eigenwert, aber zugehöriger Eigenraum hat Dimension >1. Das wollte ich damit sagen :-)

[Jupp]

Der Eigenraum zu einem einfachen Eigenwert kann nicht eine Dimension > 1 haben. Die Dimension der Eigenräume ist immer höchstens so groß, wie die Vielfachheit der Nullstelle. Und in dem Fall dass es immer genau gleich groß ist, ist die Matrix diagonalisierbar.

Wollt ich nur mal so anmerken.

[Muffi]

Ich liege aber schon richtig damit, dass, vorausgesetzt die Matrix hat vollen Rang, die Dimension jedes Eigenraumes gleich der algebraischen Vielfachheit seines Eigenwertes ist?

[Jupp]

Da wäre ich mir nicht so sicher, kannste das beweisen, bzw. gibts da nen satz der sowas aussagt?

[Tommytb]

Ich liege aber schon richtig damit, dass, vorausgesetzt die Matrix hat vollen Rang, die Dimension jedes Eigenraumes gleich der algebraischen Vielfachheit seines Eigenwertes ist?

Das hieße ja, dass eine Matrix genau dann diagonalisierbar ist, wenn sie invertierbar ist, da nur Matrizen mit vollem Rand invertierbar sind... und ich denke es gibt durchaus invertierbare Matrizen, die jedoch nicht diagonalisierbar sind... jedoch muss eine Matrix vollen Rang haben, um diag. zu sein... da man Sie ja quasi mittels einer anderen Basis auf Zeilenstufenform bringt.

Man muss also meiner Meinung nach nur gucken: Wenn man einen mehrfachen EW hat, dass der dazugehörige ER dieselbe Dimension hat. Dann ist die Matrix diag. bzw die EV bilden eine Basis des Vektorraums.

[Jupp]

Ja seh ich genauso.

Hab zur gleichen Klausur noch 2 weitere Fragen:

1. Wie löse ich Aufgabe 6?

2. Wie erstelle ich die Gram Matrix in Aufgabe 8 bzw. ich hab da

3 -3
1 3

raus und bin mir nicht sicher obs richtig ist.

[Tommytb]

1. Wie löse ich Aufgabe 6?

einfach AXB für allgemeines X der Form wie es da steht ausrechnen... und dann Quotientenvergleich, um den Kern auszurechnen und das Bild relativ direkt ablesen.

[Christopher.Schleiden]

Ja seh ich genauso.
2. Wie erstelle ich die Gram Matrix in Aufgabe 8 bzw. ich hab da

3 -3
1 3

raus und bin mir nicht sicher obs richtig ist.

Ich haette da
3 1
-3 3 raus.. hab ich da was verdreht?

[Quinie]

Wie seit ihr denn an die Aufgabe 8 rangegangen?