[LA] Eigenwerte bei Funktionen finden

[Commo]

Hallo,

wir haben bei Bemerkung (3.11) ja zwei Definitionen von Eigenwertproblemen:

(a)

(b)

Bei (b) kann man alle Eigenwerte ja über die Nullstellen des charakteristischen Polynoms finden. Braucht man dann den Eigenraum, muss man ja nur noch einsetzen und das Gleichungssystem lösen, denn man hat ja alle Werte .

Wie sieht es aber bei (a) aus? Dort kann man die Eigenwerte nicht über ein charakteristisches Polynom herausfinden. Wie ist außerdem die Identität zu verstehen? Ist sie einfach nur formales Hilfsmittel um den Eigenwert c mit der Funktion zu verbinden, sodass eigentlich wirklich nur die Gleichung gelöst werden soll, oder aber ist abhängig von der Funktion, d.h. für würde die Identität entsprechen.

Vielleicht kann wer auch einfach mal eine Aufgabe durchrechnen, wo z.B. . Gesucht sind alle Eigenwerte.

[fw]

Wie sieht es aber bei (a) aus? Dort kann man die Eigenwerte nicht über ein charakteristisches Polynom herausfinden

Warum nicht? Jede lineare Abbildung hat ein charakteristisches Polynom. Das ist nicht nur für Matrizen definiert..

Die Identität in deiner (a) ist das Einselement in dem Ring in dem du da gerade bist, so wie die Einheitsmatrix (die Abbildungsmatrix der Identität) das neutrale Element in dem Ring aus (b) ist.

a*c + c = (a+1)*c, wobei "1" hier eben "E" bzw. "id" ist..

(Die Identität ist übrigens die Abbildung die jedes Element fest lässt, d.h. auf sich selbst abbildet. Sowas wie id(v)=1/4 v, was du da schreibst, kann also nicht sein :-))

[Friedrich]

z.B. . Gesucht sind alle Eigenwerte.

Achtung: dein phi ist keine Lineare Funktion und hat auch keine EW, EV, ER!