[LA] Minimalpolynom und Diag.barkeit

[CrazyPumuckl]

Hallo,

rechne grade ne Hiss-Klausur. Dort wird zur Bestimmung der Diagonalisierbarkeit zuerst ein Minimalpolynom gebildet und dann dessen Vielfachheit der Nullstellen angeschaut.
Meine Frage: Minimalpolynom hatten wir bei Hanke nicht, oder?
Und: Es genügt doch für die Diag.barkeit, dass man für das char. Polynom n verschiedene (!) EW hat, oder seh ich das falsch?

[SpatzenArsch]

Ja. Anders ausgedrückt muss für eine nxn Matrix, das char. Polynom in n paarweise verschiedene Linearfaktoren über |R zerfallen.

[fw]

Ja. Anders ausgedrückt muss für eine nxn Matrix, das char. Polynom in n paarweise verschiedene Linearfaktoren über |R zerfallen.

das "über " ist in dem Satz zuviel.. Das ist nur wichtig wenn es ein -Vektorraum ist. Diagonalisierbarkeit ist aber für beliebige Vektorräume definiert :-)

[Martin]

Ich hab dir mal nen [LA1]-Tag spendiert...

[CrazyPumuckl]

Sorry, hatte den tag vergessen, ja

[Stasik]

nochmal vollständig: das Zerfallen in verschiedene Faktoren, ist zwar hinreichend, aber nicht notwendig.
Die Matrix ist Diagonalisierbar gdw. die Summe der Dimensionen der Eigenräume die Dimension der Matrix Ergeben.

[fw]

edit: löschen bitte

[Quinie]

ich versteh richtig das wir Minimalpolynom nicht können müssen da wir es nie gemacht haben?

[fw]

ich versteh richtig das wir Minimalpolynom nicht können müssen da wir es nie gemacht haben?

Ja

[tromba_marina]

Ist aber trotzdem eine schöne Sache. Es gilt zum Beispiel: eine Matrix ist *genau dann* diag'bar, wenn ihr Minimalpolynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt. Dass für das charakteristische Polynom nur "<==" gilt, wurde ja bereits erwähnt (Gegenbeispiel ist ja z.B. jede skalare Matrix).

"==>": Angenommen, die n*n-Matrix A ist diagonalisierbar.
Dann gibt es Eigenwerte e_1, ..., e_m, sodass V die direkte Summe der zugehörigen Eigenräume ist. Sei µ das Minimalpolynom von A. Sicher gilt µ(e_1) = ... = µ(e_m) = 0, denn genau die Eigenwerte sind die Nullstellen des Minimalpolynoms. Also teilt q := (X-e_1)*...*(X-e_m) das Minimalpolynom.
Es gilt aber außerdem: q(A)*v = 0 für jeden Vektor v aus V, denn V ist direkte Summe der Eigenräume, d.h. jedes v aus V schreibt sich eindeutig als k_1e_1 + ... + k_me_m. Es ist dann q(A)(v) = k_1*q(A)(e_1) + ... + k_m*q(A)(e_m) = 0, da auch q(A) wieder eine lineare Abbildung ist. Da v beliebig war, ist q(A) die Nullabbildung und also teilt das Minimalpolynom auch q, denn es ist per Definition das Polynom von geringstem Grad, das A als Nullstelle hat. Insgesamt ist damit µ gleich q.

"<==": Angenommen, das Minimalpolynom zerfällt in paarweise verschiedene Linearfaktoren.
In LA2 beweist man, dass V die direkte Summe der Haupträume Kern((p_i^k_i)(A)) ist, wobei die p_i die irreduziblen Faktoren des Minimalpolynoms sind und die k_i deren Vielfachheiten. Unter unserer Voraussetzung ist k_i = 1 und p_i = X-a_i für alle i und gewisse a_i aus K, d.h. V ist direkte Summe von gewissen Haupträumen Kern(A-a_i). Jeder Vektor, der in einem Kern(A-a_i) ist, ist aber ein Eigenvektor. Damit sind alle Haupträume Eigenräume und V ist direkte Summe von Eigenräumen. Ein Beweis ohne LA2 ist mir nicht eingefallen, aber jemand anderem: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke ... opic=83323