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von **Muffi** » 11.07.07 22:38

http://www.s-inf.de/Skripte/EidS.2004-SS-Kamps.(BW).Klausur.pdf

Teil1:
$EX=0\cdot\frac{1}{8}+1\cdot\frac{1}{4}+2\cdot\frac{1}{4}+3\cdot\frac{1}{4}+4\cdot\frac{1}{8}=2$
$EX^2=0\cdot\frac{1}{8}+1\cdot\frac{1}{4}+4\cdot\frac{1}{4}+9\cdot\frac{1}{4}+16\cdot\frac{1}{8}=\frac{11}{2}$

$VarX=EX^2-(EX)^2=\frac{11}{2}-4=\frac{3}{2}$

Teil3:
b) $EY=\frac{1}{\lambda}$ , da $Y\text{exponentialverteilt mit Parameter }\lambda$
$EZ=E1-Ee^{-\lambda{Y}}=1-e^{-\lambda{EY}}=1-e^{-1}=1-\frac{1}{e}$

Hat jemand Ideen für Aufgabenteil 2 und 3a?

von **Pillenfresser** » 11.07.07 23:18

Bei Teil 2 muss man falten, würde ich sagen...

von **Teq** » 11.07.07 23:19

Okay also 1. hab ich auch so.
Für Teil 2 hab ich Faltung benutzt (Seite 16 Formelsammlung).
Als Ergebnis bekomm ich:
$\frac{1}{64}, t \in \{0,8\}$
$\frac{1}{16}, t \in \{1,7\}$
$\frac{1}{8}, t \in \{2,6\}$
$\frac{3}{16}, t \in \{3,5\}$
$\frac{7}{32}, t \in \{4\}$

Dank meiner enormen Stocha-Skills aber erstmal ohne Gewähr

von **Pillenfresser** » 12.07.07 15:30

Ich hab das gleiche Ergebnis.

von **nomawie** » 13.07.07 00:23

teil 2 hab ich auch das ergebnis. hab bei $X_1+X_2=k$ unterschieden zwischen $X_1=0, X_2=1$ und $X_1=1, X_2=0$ wohingegen ich $X_1=0, X_2=0$ nur einfach gezählt habe. EY ist ja einfach zu berechnen. Bei $EZ=E(1-e^{\lambda y})=1-Ee^{-\lambda y}$ sieht das irgendwie nach momenterzeugender Funktion aus. Wäre dann $1-\sum_k e^{-\lambda k} \lambda e^{-\lambda k}$ . Müsste man dann noch ein bisl vereinfachen mit geometrischer Reihe aber kann sein, dass das auch totaler Blödsinn ist... Ist schon spät

Kann man den Erwartungswert einfach so in den Exponenten ziehen? Teil 3a) könnte vielleicht mit der Transformationsformel für Dichtefunktionen gehen

von **MartinR** » 13.07.07 11:20

macht mal 3 1) mit Transformationsformel, dann müsst ihr euch auch später keinen abbrechen mit EZ. Kommt nämlich ganz toller Kram raus.

von **nathan99** » 13.07.07 11:45

Was ist denn bei Teil 2 mit der Formulierung überhaupt gemeint? Mein Sprachparser kann da keine gültige Voraussetzung draus basteln...

Gesucht ist die Zähldichte h von X1 und X2?

Die Zähldichten von X1 und X2 sind doch genau die gleichen?

Ich raffe nicht, was die damit ausdrücken möchten...

Meinen die die Zähldichte von X1+X2?

von **MartinR** » 13.07.07 11:55

Weil alles andere, wie du schon gesagt hast, ziemlich langweilig wäre:
Ja, eigentlich meinen die X1+X2

von **Muffi** » 13.07.07 16:53

Ich hab noch eine Idee für Teil 3a:

durch $Z=1-e^-{\lambda\cdot{y}}$ haben wir ja eina bijektive Abbildung gegeben, die das Intervall verändert (nämlich auf (0,1)), also greift Satz C4.2. Damit könnte man ja so rechnen:

$g(y)=1-e^{\lambda{y}}$
$g^{-1}(z)=-\frac{ln(Z-1)}{\lambda}$
$(g^{-1})'(z)=-\frac{1}{\lambda(Z-1)}$

Somit gilt nach Satz C4.2:

$f^Z(z)=|(g^{-1})'(z)|\cdot{f}^Y(g^{-1}(z))\stackrel{\text{ganz viel kuerzen}}{=}\begin{cases} 1 & z\in (0,1)\\ 0 & \text{sonst}\end{cases}$ . Damit haben wir die Dichtefunktion. Wenn wir die Verteilungsfunktion haben wollen, müssen wir noch integrieren:

Edit: richtig, wir integrieren ja nur bis z und nicht über das gesamte Intervall. :oops:

$\int_0^z 1 dz = \begin{cases} 0 & z<0 \\ z & z\in[0,1] \\ 1 & z>1\end{cases}$

Jetzt macht es auch Sinn. 8-)

von **Lukul** » 13.07.07 16:56

Für die Faltung in 2. hab ich die gleichen Ergebnisse wie Teq.
Die Verteilungsfunktion von F_Z hab ich mit der Transformationsformel gemacht und folgendes raus:

$f_Z(z)=\begin{cases} 1 &, z \in (0,1) \\ 0 & \text{ sonst} \end{cases} \\ \\ F_Z(z)=\begin{cases} 0 & z < 0 \\ z & z \in (0,1) \\ 1 & z > 1 \end{cases}$

Für den Erwartungswert von Z hab ich 1/2 raus.

Gibts eigentlich auch ne Transformationsformel für die Verteilungsfunktion, oder muss man immer den Umweg über die Dichte nehmen?

von **Muffi** » 13.07.07 17:07

Teq hat geschrieben:Okay also 1. hab ich auch so.
Für Teil 2 hab ich Faltung benutzt (Seite 16 Formelsammlung).
Als Ergebnis bekomm ich:
$\frac{1}{64}, t \in \{0,8\}$
$\frac{1}{16}, t \in \{1,7\}$
$\frac{1}{8}, t \in \{2,6\}$
$\frac{3}{16}, t \in \{3,5\}$
$\frac{7}{32}, t \in \{4\}$

Dank meiner enormen Stocha-Skills aber erstmal ohne Gewähr

Müsste die Summe deiner Wahrscheinlichkeiten nicht 1 sein?

von **Pillenfresser** » 13.07.07 17:16

Muffi hat geschrieben:Müsste die Summe deiner Wahrscheinlichkeiten nicht 1 sein?

Es ist. Bist auf die letzte musst du alle Wahrscheinlichkeiten beim Addieren verdoppeln, weil es dafür jeweils 2 Fälle gibt.

von **Muffi** » 13.07.07 17:17

Grrr, natürlich... Zu einfach.

von **David** » 13.07.07 18:07

Wie berechnen sich die neuen Grenzen nach der Dichtetransformation? Komm da gerade irgendwie nicht drauf, der Rest ist ja einfach ;).

von **Miss*Sunflower** » 13.07.07 18:36

Teq hat geschrieben: $\frac{3}{16}, t \in \{3,5\}$
$\frac{7}{32}, t \in \{4\}$

wie kommst du auf die Ergenisse? Hab gerade ein Brett vorm Kopf.

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[Stocha] Klausur Kamps SS2004 Aufgabe 4

Klausur Kamps SS2004 Aufgabe 4