[Stocha] Zufallsvariablen

[philipp]

Also die treiben mich echt in den Wahnsinn.

Eine Zufallsvariable ist ja definiert als Abbildung von einer Teilmenge von zu einer reellen Zahl oder einem Vektor von reellen Zahlen.

Sie bildet also ab von Mengen auf reelle Zahlen.

Nur wird in vielen Aufgabenstellung nicht wie eine Funktion damit gehandhabt.
Zum Beispiel auf Blatt 6 Aufgabe 23. (X <= x) steht ja fuer das Urbild zum Funktionswert "x", ist also eine Menge. Allerdings wird hier davon das Maximum bestimmt !?!?

Oder auf Blatt 8 Aufgabe 28. Hier wird die Summe von mit Konstanten multiplizierten Zufallsvariablen bestimmt. Wie soll das gehen?

Bitte hilf mir jmd. damit ich mir diese Dinger richtig vorstellen und damit umgehen kann...

[mirko]

ich glaube mit dem ausdruck P(max X_i <= x) ist gemeint: die w'keit, dass der wert, den die größte zufallsvariable annimmt, kleiner gleich x ist.

bei aufg 28 nehme ich an, die meinen den funktionswert (bzw. alle möglichen fktnswerte) der zufallsvariable...

[philipp]

die größte zufallsvariable

Was heisst das? Ich kann mir darunter nichts vorstellen..

[mirko]

hm... - vlt das größte element des zielbereichs? bin da ehrlichgesagt auch gerade etwas ratlos...

EDIT: guck dir mal die lösung an - da wird im ersten schritt dieser unverständliche ausdruck in einen anderen (für mich) verständlicheren ausdruck umgeformt...

[$veno]

Hab das Problem auch und ärgere mich sehr oft darüber, dass die vermeintlichen Funktionen bereits als Realisationen solcher gehandhabt werden.
Hab mich inzwischen dran gewöhnt, dass wenn von der Zufallsvariable X geredet wird, eigentlich eine Realisation dieser gemeint ist.
So ist das Maximum von X_1,...,X_i das Maximum aller X_i als Realisationen halt.

Gruss Sven

[mirko]

Hab das Problem auch und ärgere mich sehr oft darüber, dass die vermeintlichen Funktionen bereits als Realisationen solcher gehandhabt werden.
Hab mich inzwischen dran gewöhnt, dass wenn von der Zufallsvariable X geredet wird, eigentlich eine Realisation dieser gemeint ist.
So ist das Maximum von X_1,...,X_i das Maximum aller X_i als Realisationen halt.

Gruss Sven

wäre das dann nicht das größte element des bildbereichs? das kommt hier allerding nicht hin - hier ist offensichtlich die w'keit gemeint, dass alle zufallsvariablen (bzw. deren realisationen) kleiner gleich x sind...

[$veno]

nein, was ich meinte, ist das max. aller X_i, wenn X_1...X_i Realisationen von Zufallsvariablen sind. z.b. ist das Max. der Stichprobe (3,2,66,3,5) 66!
3, 2, 66, 3, 5 sind dabei jeweils Realisationen von Zufallsvariablen X_1 .. X_5 und F(max(X_1, .. ,X_5) = 66) = F(X_1 <= 66, X_2 <= 66, ...)

Gruss Sven

[Stasik]

also man muss sich die Dinger nicht als Abbildungen vorstellen, denn es interessiert uns ja nicht was sie Abbilden, sondern nur wohin. Ehe als Zufallszahlengeneratoren. Im Moment des Auswertens des Maximums, muss du dir vorstellen, die Teile haben schon irgendwelche (unbekannte) Werte angenommen, somit lässt sich der Maximum bestimmen. Genau so bei Multiplikation mit 2: "Generator spuckt eine Zahl raus, diese wird danach mit 2 Multipliziert".

[mirko]

also man muss sich die Dinger nicht als Abbildungen vorstellen, denn es interessiert uns ja nicht was sie Abbilden, sondern nur wohin. Ehe als Zufallszahlengeneratoren. Im Moment des Auswertens des Maximums, muss du dir vorstellen, die Teile haben schon irgendwelche (unbekannte) Werte angenommen, somit lässt sich der Maximum bestimmen. Genau so bei Multiplikation mit 2: "Generator spuckt eine Zahl raus, diese wird danach mit 2 Multipliziert".

aja, das würde sinn machen - dann betrachte ich im allg. fall alle möglichen ausgaben (wie ich das bisher auch gedacht habe, also den bildbereich der abb ) - und wenn ich das maximum bestimmen will, muss ich das karthesische produkt der bildbereiche bilden und dann von jedem n-tupel den größten wert nehmen. in dieser aufg hier würde ich anschließend gucken, mit welcher w'keit das zu dem maximum gehörende tupel aufgetreten ist und ob es kleiner gleich x ist - wenn ja, wird die w'keit zu P(...) addiert, wenn nicht, dann nicht. dann würde das ganze jedenfalls hinkommen

hab ich das jetzt richtig verstanden?

[Stasik]

ja, du hast z.B. einen 2er Tupel, und sagst ok, wie wahrscheinlich ist es, dass der Maximum von Beiden <= x ist, dann ist der erste Element auf jeden fall kleiner gleich x und der 2 Element auch... auch wenn du den Betrag des Maximums nicht genau kennst.

[mirko]

ok - jetzt ist mir alles klar - ich hoffe, dem thread-ersteller geht es genauso

[philipp]

ja, du hast z.B. einen 2er Tupel, und sagst ok, wie wahrscheinlich ist es, dass der Maximum von Beiden <= x ist, dann ist der erste Element auf jeden fall kleiner gleich x und der 2 Element auch... auch wenn du den Betrag des Maximums nicht genau kennst.

Hm ne nicht ganz. Diesen Satz kapier ich nicht. Kann nicht mal jmd. ein konkretes Beispiel machen?

[mirko]

ok:

du hast eine zufallsvariable X_1, die mit gleicher w'keit auf 1 und 2 abbildet und eine zufallsvariable X_2, die mit gleicher w'keit auf 2 und 3 abbildet. für x=1 würdest du nun w'keit bestimmen, das X_1 und X_2 kleiner gleich 1 sind (hier 0, da X_2 nicht kleiner als 2 wird). für x=2 bestimmst du dann die w'keit, dass beide kleiner gleich 2 sind (also 1*0,5) (die 1 von X_1 und die 0,5 von X_2).

[fw]

Maximum von Beiden <= x ist, dann ist der erste Element auf jeden fall kleiner gleich x und der 2 Element auch.

Hm ne nicht ganz. Diesen Satz kapier ich nicht. Kann nicht mal jmd. ein konkretes Beispiel machen?

Was er meint ist: Wenn das Maximum zweier Zahlen kleiner als eine bestimmte obere Schranke ist dann sind beide Zahlen kleiner als diese Schranke. Ähnlich beim Minimum. Wenn das Minimum zweier Zahlen größer als eine untere Schranke ist dann sind beide Zahlen größer..