[LA] Satz zon Caley - Hamilton

[$veno]

Hallo!

Habe mal ne Verständnissfrage zum Satz von Caley Hamilton.

Und zwar Beim Beweis der Korrektheit (3.45) wird bewiesen, dass x_phi(phi)(v)=0 für alle v aus V.

Mir ist schon klar, das der beweis korrekt ist, aber ich frage mich dann, dass wenn dies für alle v aus V bewiesen wurde, dies nicht bei folgendem beispiel (3.46) gilt. Dort passt das zwar, wenn man die Abbildungsmatrix einsetzt, aber nach dem was bewiesen wurde müsste doch auch x_phi(phi)(nullvektor)=0 gelten.

Dies ist aber:
phi(nullvektor) = nullvektor => x_phi(nullvektor) = (0,0)² - 5(0,0) - 2.

(0,0)² ist aber schon nicht definiert, der Satz gilt somit doch nicht, wo hab ich meinen Denkfehler???

Gruss sven

[fw]

x_phi(phi)(nullvektor)=0 gelten.

Dies ist aber:
phi(nullvektor) = nullvektor => x_phi(nullvektor) = (0,0)² - 5(0,0) - 2.

Achtung! Du schreibst es oben richtig und machst es unten falsch!

Nochmal in TeX weil sauberer..

Es muss gelten:


Und in dem von dir genannten Beispiel (3.46) gilt auch:


Dein Fehler war, dass du die Abbildung in das Polynom einsetzen musst und nicht die Bilder der Abbildung! Schau dir nochmal an was genau die Verknüpfungen im (Ring und -VR) sind, wie Potenzen dort definiert sind und was z.B. das neutrale Element bzgl. (Komposition) ist (guck auch z.B. mal Beispiel (3.43)).

Hoffe das hilft dir nun :-)