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von **Lukul** » 02.07.07 18:31

a)
$X \sim Exp(\lambda) \Rightarrow f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x > 0 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}$
Offenbar gilt: $Y_i \sim Exp(\frac{1}{\vartheta})$

$\Rightarrow E_\vartheta (Y_1) = \frac{1}{\frac{1}{\vartheta}}=\vartheta$
Varianz entsprechend.

b)
$L(\vartheta | y_1,...y_n) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\vartheta} \exp (-\frac{y_i}{\vartheta})=\frac{1}{\vartheta}\prod_{i=1}^n \exp (-\frac{y_i}{\vartheta}) \\ l = \ln{L(\vartheta | y_1,...,y_n)} \\ \ln (\frac{1}{\vartheta} \prod_{i=1}^n \exp (- \frac{y_i}{\vartheta})) = \ln \frac{1}{\vartheta} + \sum_{i=1}^n \ln \exp (-\frac{y_i}{\vartheta}) = \\ \ln 1 - \ln \vartheta + \sum_{i=1}^n (- \frac{y_i}{\vartheta})= - \ln \vartheta - \frac{1}{\vartheta} \sum_{i=1}^n y_i \\$
c)
$l'(\vartheta)=-\frac{1}{\vartheta} + \frac{1}{\vartheta^2} \sum_{i=1}^n y_i \\ l'(\vartheta) = 0 \Rightarrow \frac{1}{\vartheta}=\frac{1}{\vartheta^2} \sum_{i=1}^n y_i \Rightarrow \vartheta = \sum_{i=1}^n y_i$
Zweite Ableitung überprüfen, ob < 0. Das spar ich mir hier.

$\hat{\vartheta}_n (y_1,...,y_n)= \sum_{i=1}^n y_i$

d)
$E_\vartheta \hat{\vartheta}=E_\vartheta (\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E_\vartheta (Y_i) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \vartheta=\frac{1}{n} \cdot n \cdot \vartheta = \vartheta$
Also Erwartungstreue gezeigt.

$Var_\vartheta (\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i) = \frac{1}{n^2} ( \sum_{i=1}^n Var Y_i + 2 \sum \sum_{1 \le i < j \le n} \underbrace{Kov(Y_i,Y_j)}_{0 \text{, da s.u.}} ) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \vartheta^2 = \frac{n \cdot \vartheta^2}{n^2}=\frac{\vartheta^2}{n}\\ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\vartheta^2}{n} = 0$

von **pavel** » 04.07.07 22:20

bei (b) ganz am anfang machst du einen solchen fehler:

$(a\cdot b) \cdot (a\cdot b) \cdot ... \cdot (a\cdot b) = a \cdot (b\cdot b\cdot ...\cdot b)$

bei (d) kannst du dir den weg über kovarianz sparen, da Y_i als st. unabh. erklärt wurden (C 5.16 (v) + C 5.18).

von **Lukul** » 04.07.07 23:07

Ich kann gar nicht mehr rechnen, glaub ich. Mal n neuer Versuch:

b)
$L(\vartheta | y_1,...y_n) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\vartheta} \exp (-\frac{y_i}{\vartheta})=(\frac{1}{\vartheta})^n\prod_{i=1}^n \exp (-\frac{y_i}{\vartheta}) \\ l = \ln{L(\vartheta | y_1,...,y_n)} \\ \ln ((\frac{1}{\vartheta})^n \prod_{i=1}^n \exp (- \frac{y_i}{\vartheta})) = n \cdot \ln \frac{1}{\vartheta} + \sum_{i=1}^n \ln \exp (-\frac{y_i}{\vartheta}) = \\ n \cdot \ln 1 - n \cdot \ln \vartheta + \sum_{i=1}^n (- \frac{y_i}{\vartheta})= - n \cdot \ln \vartheta - \frac{1}{\vartheta} \sum_{i=1}^n y_i \\$
c)
$l'(\vartheta)=-\frac{n}{\vartheta} + \frac{1}{\vartheta^2} \sum_{i=1}^n y_i \\ l'(\vartheta) = 0 \Rightarrow \frac{n}{\vartheta}=\frac{1}{\vartheta^2} \sum_{i=1}^n y_i \Rightarrow \vartheta = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i$

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