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von **maddinac** » 01.07.07 17:16

wollte mal posten was ich da raushabe.
a,b muss man zeigen.
c: EX = 5.01...
d: Antwort A (bin mit nicht ganz sicher, B schließe ich aus)

von **sHaddN** » 02.07.07 13:20

(a) Einmal nach x, einmal nach y integrieren, dann kommt das gewünschte raus und nicht vergessen: int x*e^(-1/2x^2) dx = -e^(1/2x^2)
(b) Unabhängig, mit Ergebnissen aus (a) leicht zu zeigen.
(c) = SQRT(2*pi)
(d) Antwort A

von **Lukul** » 02.07.07 18:03

a, b und d kann ich die Ergebnisse von shaddn bestätigen.
Bei c hab ich $2\sqrt{2 \pi}$ .
Bei Interesse würd ich auch nochmal die jeweiligen Rechenwege reinstellen.

von **sHaddN** » 02.07.07 18:12

ich denke die 2 ist zu viel, poste mal deinen Weg

von **Lukul** » 02.07.07 22:51

Bitteschön:

$EX = \int_{-\infty}^\infty x \cdot f^X(x)dx = \int_{-\infty}^\infty x^2 \exp (-\frac{1}{2}x^2) dx = \\<br />\text{(partiell integrieren)} [x^2(-\frac{1}{x}) \exp (-\frac{1}{2}x^2)]_0^\infty + \int_{-\infty}^\infty 2x \frac{1}{x} \exp (-\frac{1}{2}x^2) dx \\<br />= [\frac{-x}{\exp (\frac{1}{2}x^2)}]_0^\infty + 2 \sqrt{2 \pi} \underbrace{\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp (- \frac{1}{2}x^2)dx}_1$
Hier L'Hospital anwenden, der Bruch im vorderen Teil konvergiert im Unendlichen gegen 0.
$... = 0 - 0 + 2 \sqrt{2 \pi} = 2 \sqrt{2 \pi}$

von **$veno** » 02.07.07 23:05

du hast die falsche Stammfunktion von e^(-1/2 x^2) gebildet.
Daher hast du was falsches raus lukul
Typ: Zerlege die Faktoren für die partielle Integration in x und x*e^(...). Dann ist es ganz einfach die Stammfunktion von x*e^(...) zu bilden

Gruss Sven

von **Lukul** » 03.07.07 09:08

Jo, stimmt ist natürlich Murks, das mit 1/x in der Stammfunktion. Hab ich nicht dran gedacht. Danke! Hier nochmal richtig:

$EX = \int_{-\infty}^\infty x \cdot f^X(x)dx = \int_{-\infty}^\infty x \cdot x \cdot \exp (-\frac{1}{2}x^2) dx = \\<br />\text{(partiell integrieren)} [x \exp (-\frac{1}{2}x^2)]_0^\infty + \int_{-\infty}^\infty \exp (-\frac{1}{2}x^2) dx \\<br />= [\frac{x}{\exp (\frac{1}{2}x^2)}]_0^\infty + \sqrt{2 \pi} \underbrace{\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp (- \frac{1}{2}x^2)dx}_1$
Hier L'Hospital anwenden, der Bruch im vorderen Teil konvergiert im Unendlichen gegen 0.
$... = 0 - 0 + \sqrt{2 \pi} = \sqrt{2 \pi}$

von **Alexander Urban** » 05.07.07 17:24

Wieso ist das Integral von 0 bis unendlich der N(0,1)-Verteilung gleich 1?

MÃ¼sste es nicht 0,5 sein? SchlieÃŸlich fallen die 0,5 der negativen Seite weg, oder hab ich da was Ã¼bersehen?

von **Friedrich** » 07.07.07 13:21

$veno hat geschrieben:Dann ist es ganz einfach die Stammfunktion von x*e^(...) zu bilden

Da liegt mein Problem! Woher kennt man denn diese Stammfunktion??

von **Martin** » 07.07.07 13:26

Friedrich hat geschrieben:Da liegt mein Problem! Woher kennt man denn diese Stammfunktion??

Du weisst, dass $(e^{g(x)})' = g'(x)e^{g(x)}$ . Bin ich auch nicht direkt drauf gekommen, ich glaube, sowas sieht man irgendwann, wenn man die 500ste Stammfunktion ausgerechnet hat.

von fw » 07.07.07 13:39

Lukul hat geschrieben: $(...) = [\frac{x}{\exp (\frac{1}{2}x^2)}]_0^\infty + \sqrt{2 \pi} \underbrace{\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp (- \frac{1}{2}x^2)dx}_1$
Hier L'Hospital anwenden (..)

Wo genau wendest du da L'Hospital an?

von **Friedrich** » 07.07.07 13:45

Ach ja! Stimmt natürlich.
Ich saß halt davor und dachte die ganze Zeit: " $e^{-\frac{1}{2}x^2}$ hat ja gar keine Stammfunktion!" Aber natürlich, ist $x*e^{-\frac{1}{2}x^2}$ was anderes.

Wieder was gelernt.

@sHaddN du hast ein MINUS in der Potenz vergessen:

... und nicht vergessen: int x*e^(-1/2x^2) dx = -e^(-1/2x^2)

von **Friedrich** » 07.07.07 14:00

@fw: du musst formal mit l'hospital zeigen, dass der bruch bei x -> unendlich 0 wird.

@Lukul

Lukul hat geschrieben: $\text{(partiell integrieren)} [x \exp (-\frac{1}{2}x^2)]_0^\infty + \int_{-\infty}^\infty \exp (-\frac{1}{2}x^2) dx \\$

Wieso änderst du die Grenzen bei der part. Integration??
der vordere Teil läuft bei dir von 0 bis +unendlich und das zweite Integral von -unendlich bis +unendlich.

Ich meine es gilt doch:
$EX = \int_{-\infty}^\infty x \cdot f^X(x)dx=\int_{0}^\infty x \cdot f^X(x)dx = \int_{0}^\infty x \cdot x \cdot \exp (-\frac{1}{2}x^2) dx$

Daher auch der Einwand vom Alex.

imho muss da $\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ rauskommen

von fw » 07.07.07 14:32

Friedrich hat geschrieben:@fw: du musst formal mit l'hospital zeigen, dass der bruch bei x -> unendlich 0 wird.

Nö, wozu? Das sieht man doch sofort.. Oben ne Potenz, unten eine Exponentialfunktion.. "Exponentialfunktionen wachsen schneller als jede Potenz". Got AfI?

Oder meinen wir verschiedene Brüche? *Verwirrung*

von **pavel** » 07.07.07 14:52

potenz...

das ist ein polynom.

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