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von **Lukul** » 29.06.07 15:58

a)
Eine Verteilungsfunktion einer Riemann-Dichte ist stetig, steht auf S.13 rechts unten in der Formelsammlung.
Daher muss gelten:

$\lim_{z \uparrow 1} F_X(z)= \lim_{z \downarrow 1}F_X(z) \Leftrightarrow c 1^3 = 1-c e^{-6c \cdot 0} \Leftrightarrow c = 1-c \Leftrightarrow c = \frac{1}{2}$

b)
Gemäß Satz C 3.6 gilt:
$F^{(X,Y)}(x,y)=F^X(x) \cdot F^Y(y)$

Eine noch explizitere Angabe ist wegen der vielen Fallunterscheidungen ziemlich mühsam, würd ich sagen.

c)
$F^{max\{X,Y\}}(z)=P(max\{X,Y\} \le z) = P(X \le z \cap Y \le z) = P(X \le z) \cdot P(Y \le z) = F^X (z) \cdot F^Y(z) = \begin{cases} 0 & \text{fuer } z < 0 \\ \frac{1}{6}z^4 & \text{fuer } 0 \le z < 1 \\ \frac{1}{3}z (1 - c \exp (-6c(z-1))) & \text{fuer } 1 \le z < 3 \\ 1 - c \exp (-6c(z-1)) & \text{fuer } z \ge 3 \end{cases}$

d)
$P(X \in (\frac{1}{2},2])=F_X(2) - F_X(\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{2} e^{-3 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^3 \approx 0.9126$

$P(X \le 2 \cap Y > 2) = F_X(2) \cdot (1-F_Y(2)) \approx 0.325$

e)
Hier hab ich nach langer, umständlicher Rechnung 1 1/24 rausbekommen, aber selbst wenn der Weg richtig war, hab ich bestimmt irgendwo nen Rechenfehler drin...
Habs so gemacht, dass ich zuerst F_X(z) differenziert hab, dann z*f(z) integriert hab und dann eben Integrale auseinandergezogen, partiell integriert und mit L'Hopital gezeigt, dass die Stammfunktion im Unendlichen gegen 0 konvergiert...

von **CrazyPumuckl** » 29.06.07 17:22

hm, ich hab bei der e) 1 raus, aber ich bezweifle, dass das richtig ist

von **David** » 29.06.07 19:49

Ich hab bei der (e) auch 1 raus. Bin mir da auch relativ sicher.

von **CrazyPumuckl** » 29.06.07 19:56

cool. Du hast da aber auch nix mit L'Hospital und partieller Integration, oder? Also bei mir ging das recht schnell von der Hand ohne diese Dinge.

von **David** » 29.06.07 20:55

Nene, ich habs folgendermaßen gemacht: http://hunta.braincontrol.org/3e.jpg
Sven und ich techen die Stochastik-Aufgaben, diese Aufgabe ist dann auch in der nächsten Version mit drinne.

Bye, David

von **Lukul** » 30.06.07 00:12

Höh, aber man muss das z doch dann auch tatsächlich in F'_X(z) reinmultiplizieren, oder? Das habt ihr zwar in der zweiten Zeile so hingeschrieben, aber in der dritten doch nicht gemacht... oder steh ich da grad auf dem Schlauch?
Denn dann würde da 3/2 z^3 bzw. 3/2z*e^(...) im zweiten und dritten Integral stehen, und dann kommt man beim dritten Integral nur mit partieller Integration weiter...

von **David** » 30.06.07 11:26

ich glaube du hast recht und ich war wieder mal ein bisschen zu schnell beim rechnen. ich checke das nachher mal.

von **foogy** » 30.06.07 17:18

edit: gelöscht

von **Lukul** » 01.07.07 16:02

Also hier nochmal die komplette Rechnung für EX:

$f(z)=F'(z)= \begin{cases} 0 \\ \frac{3}{2}z^2 \\ \frac{3}{2}e^{-3(z-1)} \end{cases}$
Fälle wie bei F(z).

$EX=\int_{-\infty}^\infty z f(z) dz=\int_0^1 \frac{3}{2}z^3 dz + \frac{3}{2} \int_1^\infty z e^{-3(z-1)}dz$
Zweites Integral mit part. Integration ergibt:
$\int z e^{-3(z-1)}dz = -\frac{1}{3}z e^{-3(z-1)}+ \frac{1}{3} \int e^{-3(z-1)}dz = (-\frac{1}{3}z - \frac{1}{9}) e^{-3(z-1)}= - \frac{\frac{1}{3}z+\frac{1}{9}}{e^{3(z-1)}}$
Für unendlich konvergiert dieser Term gegen 0, wie man mit L'Hospital leicht zeigen kann.
$...=[\frac{3}{8}z^4]_0^1+\frac{3}{2}[-\frac{\frac{1}{3}z+\frac{1}{9}}{e^{3(z-1)}}]_1^\infty =\frac{3}{8}+\frac{3}{2}(\frac{\frac{1}{3}\cdot 1 + \frac{1}{9}}{e^0})=1 \frac{1}{24}$

von **Pillenfresser** » 02.07.07 19:42

Wir haben auch heute bei e) $\frac{25}{24}$ rausbekommen. Die b) würd ich gerne mal ausgeschrieben sehen, weil das was hier bei c) steht, haben wir quasi bei b) stehen und dafür die c) anders. Ich versteh auch nicht, was ihr bei der c) macht...

von **hennevl** » 07.07.07 16:17

Hi,

die folgenden Stammfunktionen aus der ET4-Formelsammlung (hier insbesondere die 2.) sind ganz praktisch:

$\int e^{at} dt = \frac{1}{a} e^{at}$
$\int t e^{at} dt = \frac{e^{at}}{a^2} (at - 1)$
$\int t^2 e^{at} dt = e^{at} (\frac{t^2}{a} - \frac{2t}{a^2} + \frac{2}{a^3})$

Viele Grüße
Hendrik

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