[LA] Blatt 10

[CrazyPumuckl]

Hallo, hab ne Frage zu Aufgabe 69c:

"...Im Fall der Diagonalisierbarkeit ist eine Basis C von V anzugeben, so dass die Abbildungsmatrix von phi bzgl. C eine Diagonalmatrix ist."

Wie geht man da vor?

Genügt es, aus meinen zuvor bestimmten Eigenräumen ja einen Basisvektor zu nehmen? Also wären dann 3 Stück und die sind l.u.

[abracrap.crip]

tja so viele andere möglichkeiten hast du da nicht

[CrazyPumuckl]

also meine berechneten Eigenräume sind halt so: t*(x1,x2,x3). Da kann ich ja ein beliebiges t wählen und hab dann ne Basis.

[abracrap.crip]

jo z.b. einer von meinen lautert für t = 11 (4,-3,11)^T (für x = 1) mit den beiden anderen hast du dann die Basis

[$veno]

Hmm, hab auch mal ne Frage:

In den MC Aufgabe von Blatt 9 war folgende Aussage dabei:

Es gibt einen Endomorphismus phi, der keinen Eigenvektor besitzt.

Ich habe da Ja angekreuzt, weil meines wissens doch eine Drehung um 90 Grad im R^2 keinen EV besitzt oder täusche ich mich da?
Die korrekte Lösung war nämlich Nein.

Nunja, wenn die Antwort Nein richtig ist, also jeder Endomorphismus phi einen Eigenvektor und damit auch Eigenwerte besitzt, wie soll man dann bitte in Aufgabe 68 Blatt 10 einen Endomorphismus einen 6 dimensionalen Vektrorraums angeben, welcher keine Eigenwerte hat ????

Gruss Sven

[abracrap.crip]

Du musst die mc falsch verstanden haben, weil nämlich die mc frage :

Der Endomorphismus hat mindestens einen Eigenvektor : Nein

bei mir als richtig gewertet wurde

[fw]

Es gibt einen Endomorphismus phi, der keinen Eigenvektor besitzt.

Ich habe da Ja angekreuzt, weil meines wissens doch eine Drehung um 90 Grad im R^2 keinen EV besitzt oder täusche ich mich da?
Die korrekte Lösung war nämlich Nein.

Du warst scheinbar nicht in der Klausurfragestunde, da wurde genau diese Frage beantwortet. Die Antwort "Nein" ist korrekt. Du hast zwar recht, dass eine Rotation im keine Eigenvektoren hat, aber das ist kein Grund. Die Aussage war: "Dimension ist größer als 1 (aber endlich), ist -Vektorraum, dann gibt es einen Endomorphismus der keinen Eigenvektor besitzt". Nur weil du nun einen Raum, nämlich gefunden hast wo das zufällig stimmt heisst das nicht dass die Aussage stimmt. Für allgemeine Dimensionen gilt das nämlich nicht. Laut Klausurfragestunde haben alle Endomorphismen von -Vektorräume mit ungerader Dimension (z.B. ) immer Eigenwerte (über )

[fw]

Du musst die mc falsch verstanden haben

Und du hast scheinbar nicht mitbekommen, dass nicht jede Person die gleichen MC Fragen bekommt (was für so ziemlich alle Vorlesungen gilt die Okuson benutzen) :-)

[$veno]

Hmm, danke fw, ich hatte die Aussage so verstanden, dass es nur irgendein phi geben muss und nicht, dass dies für jede dimension gelten muss.

[abracrap.crip]

Ist auch klar warum usw. immer einen Eigenwert haben, weil das dazugehörige charakteristische Polynom immer eine Nullstelle hat!

[CrazyPumuckl]

Ist mit "keine EW" gemeint, dass das char. Polynom in IR keine Lsg hat? Für K=C gibt es doch immer EW oder nicht? Der Körper das VR ist nämlich nicht expliziz angegeben.

[abracrap.crip]

jo und zwar n davon (über ).... macht sinn da als Körper zu wählen. (man könnte aber natürlich auch nehmen).

Dazu gibt es ein Bsp. in der Vorlesung!

[CrazyPumuckl]

Hm, also wenn ich das richtig sehe, müsste man sowas hinbekommen: Zur Vereinfachung der Determinantenberechnung habe ich ne Diagonalmatrix genommen. Dann gibt es allgemein folgendes char. Polynom: (a-x)(b-x)(c-x)...(f-x). Dann möchte ich das auf eine Form bringen die z.B nur gerade Potenzen enthält + eine positive Konstante c. z.B auch x^6 + 1.

Dann würde ja gelten für die Eigenwerte: x^6 + 1 = 0 -> das wäre in IR nicht lösbar weil x^6 >= 0 und 1 > 0. Aber wie löst man das systematisch eine solche Form hinzubekommen, also x^6 + 1 = (a-x)(b-x)...(f-x) ? Das alles ausmultiplizieren wird ja wahnsinnig lang - muss doch auch einfacher gehen, oder?

[$veno]

Jup, es geht ziemlich einfach, kleiner Tip:
Guck mal was für Beispiele wir hatten in der VL mit Endorphismen ohne EWs und bringe dies in Zusammenhang mit Invarianz

Gruss Sven

[fw]

x^6 + 1 = (a-x)(b-x)...(f-x) ? Das alles ausmultiplizieren wird ja wahnsinnig lang - muss doch auch einfacher gehen, oder?

kannst du über nicht in so eine Form bringen, und wenn du die letztere Form schon hast dann sei doch froh, da kannst du die Nullstellen viel leichter dran ablesen, warum möchtest du dann die nicht-faktorisierte Form haben? Wenn du es doch unbedingt machen willst fällt mir allerdings auch leider keine andere Möglichkeit ein ausser ausmultiplizieren (ausser wenn es nur genau zwei Linearfaktoren sind, dann kannst du z.B. so Sachen wie binomische Formel oder Satz von Vieta machen)