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von **deuper** » 18.06.07 23:19

ok.was soll ich den tun.ich habe jetzt x1,...x5 herausbekommen.wie kann ich jetzt kern(Phi) bestimmen.und wie kann ich danach die dim(Ker(Phi)) bestimmen?

von fw » 18.06.07 23:36

deuper hat geschrieben:ok.was soll ich den tun.ich habe jetzt x1,...x5 herausbekommen.wie kann ich jetzt kern(Phi) bestimmen.und wie kann ich danach die dim(Ker(Phi)) bestimmen?

Der Kern ist einfach der Lösungsraum des LGS das du gerade gelöst hast.. Wie gewohnt von den alten Aufgaben kannst du nun eine Basis angeben (und die Anzahl der Vektoren in der Basis entspricht der Dimension (und damit in diesem Fall dem Defekt))

(Ja, ich verrate nun mit Absicht nicht wie man den Lösungsraum bestimmt damit du erstmal selber nachdenkst und vielleicht alte Aufgaben nochmal anguckst :-))

von **deuper** » 18.06.07 23:44

danke

von **deuper** » 18.06.07 23:56

ooops! meine basis hat nun nur ein element!! kann das sein?

von **deuper** » 18.06.07 23:58

entweder hat die basis 5 elemente oder 1 element? kannst du mir sagen welche antwort die richtige ist?

von fw » 19.06.07 00:03

deuper hat geschrieben:ooops! meine basis hat nun nur ein element!! kann das sein?

Prinzipiell kann das sein, ja. Kann dir aber nicht sagen ob es stimmt da ich die Aufgabe noch nicht gemacht habe, sorry :-)

Wenn du aber noch die c) machst dann kannst du es selbst überprüfen.

Es muss nämlich für alle linearen Abbildungen $\varphi : V \to W$ gelten:

$\dim V = Def(\varphi) + Rg(\varphi)$

(also in diesem Fall gleich 5, da $\dim V = |B| = 5$ ).

Falls das bei dir nicht so ist, dann stimmt etwas nicht (falls es doch so ist heißt es aber allerdings nicht zwingend, dass du es richtig gemacht hast, da du dich auch bei beiden verrechnet haben könntest :-))

von **Fighter_MV** » 19.06.07 11:30

Ich blick irgendwie nicht durch

Ich hab da die ganzen f(v) gegeben, aber die hängen alle nicht v ab, sondern von w.

Wie soll ich denn damit rechen? Das ist ja selbe wie:

f(x) = 3z + 4

Dann is f(1) = f(2) = f(3) =..........

von fw » 19.06.07 11:53

Fighter_MV hat geschrieben:Ich hab da die ganzen f(v) gegeben, aber die hängen alle nicht v ab, sondern von w.

Du verstehst da etwas falsch! Dort sind keine Funktionsdefinitionen gegeben oder sowas. $v_i$ sind keine Variablen (genausowenig wie die $w_i$ )! Das sind die Basisvektoren von V (bzw. von W)! Und beachte: Eine lineare Abbildung ist eindeutig (!!) festgelegt durch die Bilder der Basisvektoren!

Was da steht ist nichts anderes als "der erste Basis Vektor wird auf dies abgebildet, der zweite auf das, usw."

Wenn du dir nochmal anguckst wie die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung aufgebaut ist wird dir klar sein was du nun damit anfangen kannst. Oder falls du das zu kompliziert findest kannst du zumindest den "berechnen Sie ..." Teil der Aufgabe a) komplett ohne Matrizen und nur mit Hilfe der Linearität lösen!

von **Fighter_MV** » 19.06.07 12:10

Allerdings habe ich dann immer noch keinen Zusammenhang zwischen w und v und den brauch ich doch.

Außerdem weiß ich nicht was das für Vektoren sind R^2 oder R^3 etc.

Um die Abbildungsmatrix zu bekommen muss ich doch die Vektoren der Basis in Diese Übergangsfunktion einsetzten oder nicht?

also

ist die Abbildungsmatrix dann eine Matrix die ungefähr so aussieht?

Code: Alles auswählen: (w1-w2+w3 4w1-w2+w3 2w2-w3 3w1+w4 w2+w3+w4)

Und noch was.

Wenn ich den Kern ausrechnen will muss ich doch alle Gleichungen (also die die in der MAtrix oben sehen) gleich Null setzten und dann auflösen oder nicht?

Ich komm dann aber immer auf w1=w2=w3=w4=0 o.o

von fw » 19.06.07 12:20

Fighter_MV hat geschrieben:Allerdings habe ich dann immer noch keinen Zusammenhang zwischen w und v und den brauch ich doch

Doch, hast du..

Fighter MV hat geschrieben:Außerdem weiß ich nicht was das für Vektoren sind R^2 oder R^3 etc.

Das spielt auch überhaupt keine Rolle. Zu wissen, dass es $\mathbb{R}$ -Vektorräume sind ist schon mehr als genug :-)

Fighter MV hat geschrieben:Um die Abbildungsmatrix zu bekommen muss ich doch die Vektoren der Basis in Diese Übergangsfunktion einsetzten oder nicht?

Keine Ahnung was eine Übergangsfunktion ist, aber die Spalten der Abbildungsmatrix sind die Koeffizienten der (eindeutigen!!) Linearkombination der Bilder der Basisvektoren von V bzgl. W. Das klingt jetzt wahnsinnig kompliziert, aber wenn man kurz drüber nachdenkt steht es schon komplett da, man muss nur noch die Koeffizienten abschreiben!

Fighter MV hat geschrieben:ist die Abbildungsmatrix dann eine Matrix die ungefähr so aussieht?
Code: Alles auswählen
(w1-w2+w3 4w1-w2+w3 2w2-w3 3w1+w4 w2+w3+w4)

Nein. Wie eben erwähnt enthält die Matrix nur Koeffizienten (also in diesem Fall Elemente aus $\mathbb{R}$ . Die $w_i$ sind aber nicht aus $\mathbb{R}$ sondern aus $W$ )

Fighter MV hat geschrieben:Wenn ich den Kern ausrechnen will muss ich doch alle Gleichungen (also die die in der MAtrix oben sehen) gleich Null setzten und dann auflösen oder nicht?

Ja, der Kern einer Abbildung entspricht dem Nullraum der zugehörigen Abbildungsmatrix..

Hoffe das hilft dir. Möchte keine Lösungen posten.. :-)

von **CrazyPumuckl** » 19.06.07 12:49

Hallo,

habe nochmal ne Frage zu Bild und Kern. Ich habe den Kern bestimmt (ist bei mir ein Vektor (5 Einträge, zudem abhängig von der frei wählbaren Variablen t).
Wie gibt man davon eine Basis an, also nach welchem Prinzip? Was ich habe ist ja - anschaulich - eine 5-dimensionale Gerade, die durch den Nullpunkt geht. Nur wenn ich jetzt jeweils einen Eintrag rausnehme und die anderen 0 setze (somit hätte ich 5 Vektoren die l.u. sind) - dann ist das keine richtige Basis, weil ich ja dann den ganzen IR^5 hätte. (kann meine Lambdas ja beliebig wählen um einen Vektor zu erzeugen der in dem Raum liegt). Das t schränkt das ganze jedoch ein, d.h. alle Vektoreinträge werden gleichzeitig mit t multipliziert (halt wie eine Gerade ;-)

) - aber wie bestimm ich davon eine Basis?

noch was zum Bild:

habe da als Dim(Im(phi)) = 4 raus, also 4 Basisvektoren - kann das jemand bestätigen?

von **Muffi** » 19.06.07 14:04

CrazyPumuckl hat geschrieben:Das t schränkt das ganze jedoch ein, d.h. alle Vektoreinträge werden gleichzeitig mit t multipliziert

Das legt eine bestimmte Vermutung doch schon _sehr_ nahe...

CrazyPumuckl hat geschrieben:habe da als Dim(Im(phi)) = 4 raus, also 4 Basisvektoren - kann das jemand bestätigen?

Ja! Weitere Fragen, die dich sicher ans Ziel führen: Was sagt dir die Dimension des Bildes über den Rang aus? Wie hängt dieser mit dem Defekt zusammen? Und in welchem Verhältnis steht der Defekt zum Kern?

von **CrazyPumuckl** » 19.06.07 17:30

Muffi hat geschrieben:
CrazyPumuckl hat geschrieben:Das t schränkt das ganze jedoch ein, d.h. alle Vektoreinträge werden gleichzeitig mit t multipliziert

Das legt eine bestimmte Vermutung doch schon _sehr_ nahe...

Ja ich eiß, ich seh da irgendwie den Wald vor lauter Bäumen nicht - gib mir bitte mal nen kleinen Tipp :-)

von **Muffi** » 19.06.07 18:33

Der Tipp mit den weiteren Fragen war meiner Meinung nach verdammt gut. Aber noch ein weiterer: Zieh mal in Betracht, dass der Kern eine kleine Dimension (und damit nur wenige Basiselemente) haben könnte...

von **CrazyPumuckl** » 19.06.07 18:41

hm, aber du beziehst Dich noch auf das Bild, oder?

also es geht mir eher darum wie man eine Basis bildet wenn man sowas gegeben hat: t*(a1, a2, a3, ... , an), t aus K. ist ja sozusagen eine n-dimensionale Gerade (wenn von den a_i keins 0 ist).

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[LA] Blatt 9