infostudium.de

von **$veno** » 10.06.07 17:01

Hallo!

Ich war bei der VL in der die LU-Zerlegung behandelt leider nicht da und wollte mal fragen was für einen Vorteil LU Zerlegungen denn haben? Googeln hat nicht wirklich was gebracht, hab mir aber slebst zusammengereimt, dass dadurch, dass die Zerlegung einer Matrix in L und U nur ein einziges mal nötig ist, die LU Zerlegung ein effizientes Verfahren ist um Gleichungssysteme für viele rechte Seiten zu lösen, aber nicht um ein LGS nur für eine oder wenige rechte Seiten zu lösen.
Ist dies so korrekt oder gibt es noch andere Vorteile?

Gruss Sven

von **Martin** » 10.06.07 17:04

http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fs ... -Zerlegung

Nen anderen Vorteil mag ich da jetzt nicht erkennen, aber ich find's toll, dass da auf die QR-Zerlegung hingewiesen wird :wink:

von **p0llux** » 10.06.07 18:55

Bei Dreiecksmatrizen kann man die Determinante einfach bestimmen.

von **Commo** » 10.06.07 22:08

War die LU Zerlegung etwa am Donnerstag vor der freien Woche dran?? ^^

von **pfeiffenaugust** » 11.06.07 21:02

ööööhmmm das ist zwar super-kleinschrittig gemacht , aber mir hats geholfen : http://www.numerik.mathematik.uni-mainz ... mepage.htm

von fw » 11.06.07 21:06

Commo hat geschrieben:War die LU Zerlegung etwa am Donnerstag vor der freien Woche dran?? ^^

kA, aber du hörst doch auch Numerik, da wurde das unter dem Namen "LR Zerlegung" gemacht..

von **MartinL** » 11.06.07 22:02

Es gibt - soweit ich das Erfahren hab - einen Unterschied zur LR-Zerlegung aus Numerik. Demnach hat bei der LU Zerlegung die R bzw U Matrix auf der Diagonalen nur 1 Elemente und nicht die L Matrix

von **Commo** » 12.06.07 00:46

Laut Wikipedia sollte es trotzdem das selbe sein... Naja in der Aufgabenstellung steht ja explizit, wie U aussehen soll.

von **bugs** » 13.06.07 16:04

also es ist imho nicht dasselbe

der unterschied ist aber einfach der, dass bei der LR-Zerlegung die L-Matrix 1 auf der Diagonale hat und die R-Matrix nicht. Bei der LU-Zerlegung ist es genau umgekehrt, da hat die U-Matrix auf der Diagonale die 1 und die L-Matrix nicht.

Zu gebrauchen ist das, wenn man (wie auch schon in der Vorlesung erklärt) viele verschiedene b hat mit Ax=b, da man anhand der Zerlegung nicht einfach einsetzen kann und nicht wie beim Gauß-Alg. das b mit transformieren muss. Dabei sei es einem selbst überlassen, ob man die LR- oder die LU-Zerlegung benutzt.

von fw » 13.06.07 17:37

bugs hat geschrieben:also es ist imho nicht dasselbe

der unterschied ist aber einfach der, dass bei der LR-Zerlegung die L-Matrix 1 auf der Diagonale hat und die R-Matrix nicht. Bei der LU-Zerlegung ist es genau umgekehrt, da hat die U-Matrix auf der Diagonale die 1 und die L-Matrix nicht.

IMHO ist es prinzipiell das selbe. Das bestätigt auch Wikipedia, da steht nämlich, dass die "LR Zerlegung" auch "LU Zerlegung" genannt wird.

Zu unterscheiden ist hier aber der zusätzliche Kommentar im Skript und in der Aufgabe "Berechnen Sie eine LU Zerlegung mit 1en auf der Diagonalen von U!" (ich finde, das sugeriert, dass das nicht bei jeder LU Zerlegung verlangt ist!)

Wenn man sich darum nicht kümmert bekommt man nämlich automatisch die 1en auf der Diagonale von L *behaupt*

von **mirko** » 13.06.07 20:32

und was muss man dann tun, um die einsen auf die andere matrix zu bekommen?

von fw » 13.06.07 20:38

Die Zeilen durch den Wert auf der jeweiligen Diagonale teilen, wie beim normalen Gauß halt auch (und in der anderen Matrix entsprechend die Spalten, siehe Algorithmus aus Vorlesung)

von **mirko** » 13.06.07 21:06

fw hat geschrieben:Die Zeilen durch den Wert auf der jeweiligen Diagonale teilen, wie beim normalen Gauß halt auch (und in der anderen Matrix entsprechend die Spalten, siehe Algorithmus aus Vorlesung)

also wenn ich die i-te zeile von L und die i-te spalte von U durch den selben wert teile, bleibt L*U gleich?

von fw » 13.06.07 21:55

mirko hat geschrieben:also wenn ich die i-te zeile von L und die i-te spalte von U durch den selben wert teile, bleibt L*U gleich?

Nein, du scheinst keine Mitschrift zu haben..

Die beiden möglichen Umformungen wurden folgendermaßen angeschrieben:

$z_i \rightarrow \lambda z_i \\<br />s_i \rightarrow \frac{1}{\lambda} s_i$
(d.h. wenn du eine Zeile multipliziert musst du die zugehörige Spalte dadurch teilen)

und

$z_i \rightarrow z_i + \lambda z_j \\<br />s_j \rightarrow s_j - \lambda s_i$
(d.h. addieren wird zu subtrahieren und Indizes vertauschen)

$s_i$ sind die Spalten von L und $z_i$ die Zeilen von U.. Spalten und Zeilenvertauschungen sind (afaik) nicht erlaubt! Unter diesen Umformungen bleibt $L \cdot U$ gleich!

Hoffe das ist verständlich, ohne Beispiel ist das zugegebenermaßen etwas seltsam.. :-)

von kb » 13.06.07 22:39

Also meine Kenntnisse reichen soweit zu sagen:
LR : Deutsche Bezeichnung, L=Linke_Untere_DEM , R=Rechte_Obere_DEM
LU : Englische Bezeichnung, L=Lower_DEM , U=Upper_DEM
(DEM=Dreiecksmatrix...kA wies im Englischen heißt).
Es ist im Grunde nur ein Verfahren, eine Matrix in ein Produkt zweier Dreiecksmatrizen zu ändern.
Die Position der 1en dient einfach zu unterschiedlichen zwecken. Z.B. 1en auf der L-Diagonalen -> Man kann Umformungsschritte nachvollziehen; 1en auf der R(U)-Diagonalen -> Man kann leicht die Inverse berechnen

infostudium.de

Forum zum Informatikstudium an der RWTH Aachen

[LA] LU-Zerlegung

LU-Zerlegung