[LA] Verständnissfragen (VR / Darstellungsmatrizen)

[$veno]

Hallo! Hab mal wieder drei Verständnissfragen zu LA1:

1) Was ist der Umnterschied zwischen abstrakten Vektorräumen und Standartvektrorräumen? Werde aus der Tabelle aus der VL nicht schlau

2) Bei einer lineare Abbildung f von V -> W ist ja laut VL die zugehörige Abbildungsmatrix die Matrix, deren Spalten die Koordinatendarstellungen (bzgl. der Basis von W) der Bilder der Basisvektoren von V sind.
zB: f(x,y) = ( 3x-2y, x+y) mit B = { (5,8 ) ; (-1,1) } und C = { (0,1) ; (1,1) }
Die Abbildungsmatrix A wäre demnach:
( 14 5 )
( -1 -5 )
(weil f(5,8 ) = (-1,13) = 14*(0,1) + (-1)*(1,1) ;
f(-1,1) = (-5,0) = 5*(0,1) + (-5)*(1,1)
Demnach wäre f(1,1) = A*(1,1) = (19,-6).
Setzt man aber (1,1) direkt in f ein (ohne Abbildungsmatrix), dann erhält man den korrekten Lösungsvektor f(1,1) = (1,2).
Demnach kann doch A garnicht die zugehörige Abbildungsmatrix sein. Spinn ich, hab ich einen Denkfehler oder stimmt das aus der VL nicht???

Gruss Sven

[MartinL]

Zu 1:

Grundsätzlich ist natürlich jeder Vektorraum erstmal eine abstrakte Struktur. Er besteht aus einer Menge von Elementen und Operationen die für alle Elemente der Menge definiert sind. (siehe auch Definition von VR).
Die Standardvektorräume sind diejenigen Vektorräume, die einfach als gebildet werden. Man kann die Elemente solcher Vektorräume als Spaltenvektoren schreiben und dann wie gewohnt damit rechnen.
Bei abstrakten Vektorräumen ist das nicht so anschaulich möglich. Betrachtet man beispielsweise den Polynomraum oder den Raum der differenzierbaren Funktionen, so ist keine Notation offensichtlich die richtige und man muss erstmal genau überlegen wie die einzelnen Operationen auf diesen VR nun funktionieren.

Für gewöhnlich kann man jedoch eine Basis für solche VR angeben und dann alle Elemente als linearkombination der Basisvektoren darstellen. Diese Linearkombinationen kann man dann mithilfe eines Standardvektorraums darstellen, indem man die Linearkombination in einen Spaltenvektorr schreibt.
Dieser Standardvektorraum ist dann auch isomorph zum abstrakten VR.

Zu 2:

Du wirfst hier leider einiges durcheinander. Die Abbildungsmatrix bezieht sich immer auf die Basen. Das heißt du musst jeden Vektor, den du in die Abbildungsmatrix reinstecken willst erstmal als Linearkombinationen der Basis B darstellen (und diese Linearkombination dann als Spaltenvektoren schreiben). Was du dann aus der Matrix herausbekommst ist eine Darstellung des Abbildungsziels, jedoch als Linearkombination der Zielbasis. Um das wirkliche Element zu erhalten musst du also mit der Basis "ausmultiplizieren"

Hoffe, dass damit einiges klarer wird. Ansonsten einfach nochmal fragen

[Commo]

Sind nicht schon die abstrakte Vektorräume? Ich habe mir nämlich gemerkt, dass die VR abstrakt genannt werden, sobald sie nicht mehr natürlich vorstellbar sind. Den dreidimensionalen Raum sollte man kennen, vierdimensional wird abstrakt.

[fw]

Sind nicht schon die abstrakte Vektorräume? Ich habe mir nämlich gemerkt, dass die VR abstrakt genannt werden, sobald sie nicht mehr natürlich vorstellbar sind. Den dreidimensionalen Raum sollte man kennen, vierdimensional wird abstrakt.

Ums kurz zu fassen: Nein, alles Blödsinn :-)

Nebenbei bemerkt: Du kannst dir sicher nicht alle (oder kleineres n) "anschaulich vorstellen" wenn K unanschaulich ist..

[oxygen]

Zu 1:

Grundsätzlich ist natürlich jeder Vektorraum erstmal eine abstrakte Struktur. Er besteht aus einer Menge von Elementen und Operationen die für alle Elemente der Menge definiert sind. (siehe auch Definition von VR).
Die Standardvektorräume sind diejenigen Vektorräume, die einfach als gebildet werden. Man kann die Elemente solcher Vektorräume als Spaltenvektoren schreiben und dann wie gewohnt damit rechnen.

Du wiedersprichst dir selbst. Die Art wie mit den Elementen gerechnet wird, muss nicht "gewohnt" sein. Ohne die Vorlesung zu kennen, würde ich vermuten, dass R^n mit den üblichen 0, 1, + * gemeint ist (auch bekannt als Euklidsche Vektorräume)

[fw]

Ich denke was er mit "gewohnt" meint ist die Komponentenweise Addition und die Multiplikation mit Skalaren, etc.

[MartinL]

Zu 1:

Grundsätzlich ist natürlich jeder Vektorraum erstmal eine abstrakte Struktur. Er besteht aus einer Menge von Elementen und Operationen die für alle Elemente der Menge definiert sind. (siehe auch Definition von VR).
Die Standardvektorräume sind diejenigen Vektorräume, die einfach als gebildet werden. Man kann die Elemente solcher Vektorräume als Spaltenvektoren schreiben und dann wie gewohnt damit rechnen.

Du wiedersprichst dir selbst. Die Art wie mit den Elementen gerechnet wird, muss nicht "gewohnt" sein. Ohne die Vorlesung zu kennen, würde ich vermuten, dass R^2, R^3 mit den üblichen 0, 1, + * gemeint ist.

Ehrlichgesagt sehe ich den Widerspruch nicht. Natürlich könnte man die Operatoren in einem gewissen Rahmen frei wählen, würde dann jedoch wohl kaum noch von Standardvektorräumen sprechen. Was nun letztlich "gewohnt" ist, obliegt einer gewissen Freiheit, wird aber auch durch die VL vorgegeben. In diesem Sinne ...

[$veno]

Vielen Dank Martin, deine Erklärung hilft mir sehr.
Aber dann ist die Abbildungsmatrix A ja garnicht identisch mit der linearen Abbildung, welche durch sie repräsentiert wird, oder? Sie berechnet ja dann nur die Linearkombination der eigentlichen Lösung.
Wenn phi: V -> W eine lineare Abbildung ist und k_(v1,...,vn): V -> K^n, dim(V) = n ein Koordinatensystem ist. Kann man dann nicht eine Abbildungsmatrix A' berechnen, mit

A' = k_(w1,...,wn)^(-1) * A * k_(v1,...,vn) (* ist in diesem fall die Hintereinanderausführung der Abbildungen)

welche die Abbildung dann direkt zur natürlichen Basis berechnet?

btw.: Hmm, mir fällt dabei auf, wie beschissen es ist, dass man in der Schule etc. nur mit natürlichen basen rechnet und es dort keine anderen Koordinatensysteme gibt.


Gruss Sven

[MartinL]

Aber dann ist die Abbildungsmatrix A ja garnicht identisch mit der linearen Abbildung, welche durch sie repräsentiert wird, oder? Sie berechnet ja dann nur die Linearkombination der eigentlichen Lösung.

Jop. Sie entspricht nur dann der Abbildung, wenn du beides mal die Standardbasen wählst. Etwas anderes wurde - meines wissens - auch nicht in der VL behauptet

Wenn phi: V -> W eine lineare Abbildung ist und k_(v1,...,vn): V -> K^n, dim(V) = n ein Koordinatensystem ist. Kann man dann nicht eine Abbildungsmatrix A' berechnen, mit

A' = k_(w1,...,wn)^(-1) * A * k_(v1,...,vn) (* ist in diesem fall die Hintereinanderausführung der Abbildungen)

welche die Abbildung dann direkt zur natürlichen Basis berechnet?

Ich weiß jetzt nicht genau wie du das meinst ....
Du kannst die Abbildung bezüglich beliebiger Basen darstellen und dann durch die Anmultiplikation von Basiswechselmatrizen die Basen verändern. So kannst du aus der Darstellung bezüglich beliebiger Basen eine Darstellung bezüglich der Standardbasis finden.

[oxygen]

Ehrlichgesagt sehe ich den Widerspruch nicht. Natürlich könnte man die Operatoren in einem gewissen Rahmen frei wählen, würde dann jedoch wohl kaum noch von Standardvektorräumen sprechen. Was nun letztlich "gewohnt" ist, obliegt einer gewissen Freiheit, wird aber auch durch die VL vorgegeben. In diesem Sinne ...

Genau das meine ich. Dein Beitrag erweckt den Eindruck, dass es sich um einen Standardvektorraum handelt, sobald man K^n als Basis hat. Das ist aber denke ich nicht richtig.

[MartinL]

Nun, was jedoch allgemein anzunehmen ist, dass in den Räumen, die als bezeichnet werden die (sei sie nun gewohnt oder nicht) Komponentenweise addition gilt und die Skalarmultiplikation mit jedem Element des Vektors.
Natürlich ist dabei zu beachten, dass immer die dem zugrunde liegenden Körper gültige Arithmetik zu verwenden ist.
Streng genommen müsste man natürlich immer wenn man von einem VR redet alles angeben (wie auch schon gaanz oben) erwähnt. Aber da man dazu ja zu faul ist muss man sich halt auf gewisse Konventionen einigen was gilt, wenn nun nichts weiter angegeben ist. Und das kommt aus der VL. Und so kann man - denke ich sehr wohl - von einem "Standardvektorraum" sprechen. Da es wohl keinen allgemeinen Mathematischen Standard hierfür gibt, ergibt sich der Standard aus den Schreibweisen der VL. Die dargestellte Meinung stellt meine Auffassung der Formulierungen der VL dar und erhebt natürlich weder anspruch auf Vollständigkeit noch auf Korrektheit.