[NumRech] Blatt 4 MC-Teil

[Jojo]

Hallo,
folgende MC-Aufgabe:

Sei mit . Ist auf D, so besitzt f keinen Fixpunkt.

Klar: wenn da stände Ableitung kleiner 1 und ein Fixpunkt(FP), dann wäre die Aussage richtig(FPsatz). Der FPsatz folgert ja nur aus den Bedingungen die Existenz des FP, nicht anders herum, weshalb die Aussage der Aufgabenstellung scheinbar falsch ist.
So jetzt mein Problem: Kann denn die Bedingung f Selbstabbildung und Ableitung betragsmäßig größer 1 überhaupt zutreffen? Wenn die Ableitung auf dem Intervall für alle x aus D größer 1 ist, dann ist doch das Intervall, auf das f abbildet auf jeden Fall größer als D (weil f stetig, da Ableitung ex.) => Widerspruch.
Wenn aber die Bedingung schon gar nicht angenommen werden kann, also immer falsch ist, dann kann daraus ja durchaus was falsches folgen, womit dann die Aussage der Aufgabenstellung durchaus richtig wäre.
Ich hoffe ich hab nen Denkfehler in meiner Argumentation, weil die Aufgabe sonst ziemlich fies gestellt ist.

[MartinL]

Ich wäre da mit allgemeinen Aussagen eher vorsichtig. Der Banach Fixpunktsatz sagt erstmal nur aus, dass eine Folge, die über besagter kontrahierender, selbstabbildender Funktion definiert ist gegen einen eindeutigen Fixpunkt konvergiert.
Werden die Bed. des Satzes nicht erfüllt, so kann man über die Folgerung keine Aussage treffen, wie du schon sagtest. Also ist aber die Aussage aus der Aufgabenstellung damit nicht enttscheidbar. Grundsätzlich hängt es von den Randbedingungen ab. Ist beispielsweise keine durchgehende Differenzierbarkeit der Funktion gefordert, lässt sich eine solche Funktion recht einfach konstruieren und bestitzt auch einen Fixpunkt.

Die Aussage ist für komplett differenzierbare Funktionen nur dann entscheidbar, wenn deine zweite Folgerung wahr ist, also eine solche Funktion nicht exisitiert, wobei ich mir auch da nicht ganz sicher bin. Ich denk nochmal darüber nach ...

[Archangel]

Es ist aber gegeben, dass f auf ganz D diffbar sein soll, sonst könnte da nicht stehen, dass der Betrag der Ableitung konstant größer als 1 ist auf D.

Im Prinzip steht in der MC Aufgabe:

f besitzt keinen Fixpunkt.

Ist also der erste Teil der Implikation immer falsch (was der Fall wäre, wenn sich das widerspricht) dann ist die Implikation immer wahr und die Aufgabe somit mit "ja" zu beantworten.

Mir stellt sich die Frage: Ist bei auch zugelassen? (schließt also die Teilmenge mit ein wie oder mit aus wie (da der TeX Parser das hier nicht kennt: Teilmengenzeichen mit durchgestrichenem Gleichheitsstrich darunter um den Ausschluss der Gleichheit anzudeuten)) Weil wenn ja, dann tuts doch folgendes:



Dann ist die Ableitung konstant 2, also größer als 1, f ist auch selbstabbildend auf D = R und 0 ist ein Fixpunkt von f...

[Jojo]

Naja, wenns nicht genau aus der Aufgabenstellung hervorgeht, dann werde ich da einfach mal nix ankreuzen. Ist zwar ärgerlich, aber was solls..