[NumRech] Übung 3 - MC Aufgaben - Residuum

[partisan]

Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

"Nach einer QR-Zerlegung erhalten Sie:

Q^t * A = (12, 3, 0, 0, 0) ^t und Q^t*b = (2, 1, -3, 2, -5)^t

Das Residium beträgt r = - sqrt(25)"


Doch bin ich mir nun nicht mehr sicher wie das Residuum definiert ist. Ich dachte bisher, dass Residuum wäre folgender Vektor: r = Ax' - b
Aber nach der Frage zu urteilen, ist es kein Vektor. Ist das Residuum vielleicht die Norm von Ax'-b?

[AGo]

Ich kann dir den theoretischen hintergrund nicht erklären, sondern nur wie du drauf kommst

Da du in Q^t * A eine nullzeile hast, wird u.a. der wert -5 von Q^t*b nie beachtet. Daher machst du unweigerlich einen Fehler. Den gra dieses Fehlers
beschreibt ja dein Residuum.

Alle diese durch nullzeilen nicht beachteten Werte quadrierst du, addierst sie und ziehst dann daraus die wurzel, und schon hast du dein r
Da hier nur auf -5 Rücksicht genommen wurde, müsste die Aussage ja falsch sein.

Wo das minus herkommt kann ich dir aber leider auch nicht sagen, und auch nich ob das da hingehört ;9


Alle Aussagen ohne Gewähr, ich hab genau Null Ahnung von DiffNum, meine aber das so in der letzten GÜ verstanden zu haben

[b0ra]

beträgt das residuum da nicht sqrt(-3² + 2² + -5²) = sqrt(38)?!

[partisan]

Das Residuum kann ja nicht negativ sein, oder? Also Scherzfrage?

[Olli]

Ago hat das schon richtig erklärt, und das richtige Residuum beträgt in der Tat r=sqrt(38).
Es stellt einen Fehler dar, eine Abweichung, daher macht es keinen Unterschied ein negatives Residuum zu haben, da der Betrag interessant ist.

[p0llux]

Ich glaube mir noch zu erinnern, dass das residuum in einer Norm definiert war, also kanns doch garnich negativ sein, oder?

[MartinL]

Das Residuum des Ausgleichsproblems ist wobei derjenige Vektor ist, der die optimale Annäherung ergibt.

[kb]

korrekt, es ist eine Norm, und diese Norm beschreibt "die Länge eines Vektors" wenn man so will, und wird genau so berechnet, wie AgO es gesagt hat, indem man die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Abweichung nimmt.

[partisan]

Jetzt weiß ich worauf AGo hinaus will und in der Globalübungsmitschrift kann ich es auch entdecken. Doch wieso ist das so?

Also noch Globaluebung scheint zu gelten: r = Rx - Q^t * b

Aber ich versteh nicht wieso? r ist doch so definiert:
r = Ax' -b = QRx'-b

Und daraus folgt: Q^t * r = Rx' - Q^t * b . Doch wieso stimmt, dass nicht mit obigen Schema überein? Oder hab ich wieder etwas verwechselt.

[MartinL]

Nun kommt der Clue: Q ist eine Orthogonalmatrix. Damit folgen zweierlei Dinge:
1.
2. Anmultiplizieren von Q oder erhält die 2-Norm.
Also:


Hoffe nun ists klar...

[partisan]

Das hat jetzt lange gedauert. Aber nun hab ich es auch verstanden. Danke.