$veno hat geschrieben:1. Sind alle nxm Matrizen auch Vektoren oder sind nur nx1 und 1xm Matrizen Vektoren
Die Frage ist falsch formuliert. Ein Vektor ist per Definition nur ein Element eines Vektorraums. Wenn du von Vektoren sprichst, musst du schon dazu sagen, wo die denn leben sollen. Eine n\times n-Matrix über einem Körper K ist z.B. ein Vektor aus dem Vektorraum K^(m\times n).
$veno hat geschrieben:2. Kann man Matrizen irgendwie geometrisch interpretieren oder sind dies wirklich einfach nur Schemen, in welchen man die Spalten und Zeilenvektoren nutzen kann?
Natürlich kann man die geometrisch interpretieren wie man lustig ist, z.B. 3x3-Matrizen mit vollem Rang als Basiswechselmatrizen von irgendeiner Basis B des R^3 zur Standardbasis. Dann sind die Spalten der Matrix die drei Elemente der Basis B, geschrieben in der Standardbasis, und du bekommst als geometrische Vorstellung ein Koordinatensystem aus drei Achsen, die auch den R^3 aufspannen, aber nicht so schön orthogonal zueinander liegen wie die Standardbasisvektoren.
Aber viel Sinn macht das nicht, denn die geometrische Interpretation ist rein willkürlich. Ohne Kontext würde es genauso viel Sinn machen, die Matrix als Adjazenzmatrix eines gerichteten Graphen zu sehen, wobei die Einträge (i,j) die Kosten des Pfades von i nach j darstellen.
Nochmal für Informatiker: Matrizen sind Tabellen mit Zahlen drin. Auf einer Festplatte kann man doch auch Einsen und Nullen abspeichern, ohne dass die gleich eine Bedeutung haben. Aber in einem geeignet gewählten Kontext haben sie eine Bedeutung.
$veno hat geschrieben: 3. Die Zeilenvektoren von matrizen sind ja 1xm Matrizen. Darf man diese auch wie "normale" Vektoren untereinander schreiben? Sind Spaltenvektoren und Zeilenvektoren also im Grunde genommen gleicher Form, nur das man sie anders aus der Matrix abliest?
Das ist sehr wirr formuliert. Wenn du eine m\times n-Matrix mit Einträgen aus R hast, die also im R^(m\times n) lebt, dann können die Spalten als Elemente des R^m und die Zeilen als Elemente des R^n aufgefasst werden. Das macht für die Spalten z.B. dann Sinn, wenn man die Matrix als Abbildungsmatrix sieht, die man durch Matrixmultiplikation auf Vektoren des R^n loslässt, weil man dann z.B. das Bild der Abbildung durch die Spaltenvektoren beschreiben kann. Das ist aber auch schon alles. Es gibt keine speziellen Regeln, wie man Spalten oder Zeilen untereinander schreiben darf. Grundsätzlich darf man die unter-, über- oder nebeneinander schreiben, wie man will, nur macht das dann vielleicht nicht so viel Sinn.
von $veno » 10.05.07 20:20 
(SCNR)