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von **MartinM** » 22.03.07 01:12

Hallo,

wenn ich es richtig behalten habe, war das eine Folge aus der AFI-Nachschreibeklausur.
$b_{n} = 3(1-\frac{1}{n^3})^n^3$

Sieht nach irgendwas mit e aus. Hab aber keine Ahnung. Weiß es jemand?

von fw » 22.03.07 01:24

3/e müsste das sein

(1-1/n)^n geht für n->oo gegen 1/e (war nicht ganz trivial zu beweisen, aber bin mir ziemlich sicher, dass das so war).. damit geht das obige als teilfolge auch gegen 1/e.. mit der 3 dabei nach GWS gegen 3/e..

von **Sieben** » 22.03.07 02:08

$a_{n} = (1-\frac{1}{n})^n = (\frac{n-1}{n})^n = (\frac{1}{\frac{n}{n-1}})^n = \frac{1}{(\frac{n-1+1}{n-1})^n} = \frac{1}{(1+\frac{1}{n-1})^n} = \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^{n+1}} = \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n (1+\frac{1}{n})^1$

Dann das ganze gg unendlich laufen lassen, geht dann gg 1/e
also geht die Folge von oben als Teilfolge gg 3 * 1/e

von **MartinM** » 22.03.07 03:14

Es kann auch sein dass da ein + statt minus in der Klammer stand.
Was mich verwirrt ist das n^3 unterm bruchstrich.

Also
$(1+ \frac{1}{n})^n$ ist ja e

Aber was ist dann
$(1+ \frac{1}{n^3})^n$

Oder warum ist
$(1+ \frac{1}{n^3})^n^3 = e$

Ich hab wohl Tomaten auf den Augen.

von **pavel** » 22.03.07 04:03

wenn "plus" in der klammer, konvergierts gegen e.
wenn "minus" - gegen 1/e.

und wenn du n^3 mit m oder was auch immer substituierst, bekommst du wieder die gewohnte norm

von fw » 22.03.07 09:52

MartinM hat geschrieben:Oder warum ist
$(1+ \frac{1}{n^3})^n^3 = e$

Weil das eine Teilfolge von der "normalen" e-Folge ist (und für konvergente Folgen gilt, dass jede Teilfolge gegen den selben Grenzwert konvergiert)

von **MartinM** » 22.03.07 12:37

aha. danke

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