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von **Commo** » 22.02.07 00:06

Hi, hat jemand die Aufgabe gelöst? Komme irgendwie nicht weiter.
Hier ein paar Ansätze bis i):

Zeige $F_{-n} = (-1)^{n+1} F_n$ - keine Ahnung.

Zeige: $(E^2 - E) F = (\Delta E)F = F$ , also $\Delta F = E^{-1} F$ .
$\hspace{2cm} \Delta E = E^2 - E$ trivial, per Definition.
$\hspace{2cm} (\Delta E) F = (E^2 - E) F = (E + Id - E)F = (Id)F = F$
"Also" $\hspace{2cm} \Delta F = (\Delta (E^2 - E)) F = ((E^3 - E^2) - (E^2 - E)) F = (E^3 - 2E^2 + E) F$
$\hspace{4cm} = (E^2 + E - 2(E+Id) + E) F = (E+Id + E - 2E -2Id + E) F = (E - Id) F = (Id + E^{-1} - Id) F = E^{-1} F$
Im wesentlichen ist hier nur die Definition der Fibonacci-Zahlen immer wieder eingesetzt worden. (z.B. $E^2 F = EF + F$ )

i) Zeige $F_1 + F_2 + ... + F_{n-2} = F_n - 1 \left( = \sum_{k=1}^{n-2} F_k \right)$
$\hspace{2cm} F = E^{-1} + E^{-2} \Leftrightarrow E^2 F = EF + F \Leftrightarrow F = E^2 F - EF$
$\hspace{2cm} \Rightarrow \sum_{k=1}^{n-2} F_k = \sum_{k=1}^{n-2} E^2 F - EF \stackrel{(Teleskopsumme)} = F_{n-2+2} - F_{1+1} = F_n - F_2 = F_n - 1$

ii) Zeige $F_1^2 + F_2^2 + F_3^2 + ... + F_n^2 = F_n F_{n+1}$
Tip: Schreibe rechte Seite als $\sum \Delta \left[ F \cdot EF \right]$ , dann Produktregel des Differenzoperators,
sowie $(\Delta E)F = F, \Delta = E - Id$ um den Term in der Summe zu vereinfachen.

Die Frage bleibt offen:
Wie kommt man zu allererst von $F_n F_{n+1}$ auf $\sum \Delta \left[ F \cdot EF \right]$ ?

*EDIT*
Wenn man davon ausgehen kann, dann sieht es schon ganz gut aus..:

$\sum \Delta \left[ F \cdot EF \right]$ (Produktregel von Delta)
$= \sum \Delta F \cdot E^2 F + F \cdot (\Delta E) F$ (Siehe Anmerkungen)
$= \sum (E - Id) F \cdot E^2 F + F \cdot F$ (Definition von F)
$= \sum (E - Id) F \cdot (E + Id) F + F^2$ (3. binomische Formel)
$= \sum (EF)^2 - (Id F)^2 + F^2 = \sum (EF)^2$

Wenn man nun die Grenzen der Summe richtig setzt, erhält man den Term der linken Seite:

$\sum_{k = -1}^{n-1} (EF)^2 = \sum_{k=1}{n} F^2 = F_1^2 + F_2^2 + ... + F_n^2$

Die Frage im Quote bleibt aber vorerst noch offen.

*EDIT*
Kann es sein, dass $\sum \Delta$ sowas bedeutet, wie Integration ( $\sum$ ) und Differentation ( $\Delta$ ), was sich gegenseitig aufhebt?

*EDIT*
Oh ja, so ist es.

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[Diskrete] Übung 6, Aufgabe 1 - Differenzenrechnung

Übung 6, Aufgabe 1 - Differenzenrechnung