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von **Muffi** » 20.02.07 21:09

$\sigma = (1,4,3)(2,6)(5)$ und $\pi^{-1} = (1,2)(3,6,4)(5)$

Bild

$\rho = (1,3,2,4,6)(5)$ und $\rho^{77} = \rho^2 = (1,2,6,3,4)(5)$

Es handelt sich hier um verschiedene Aufgaben, also natürlich auch um verschiedene $\tau, \rho$ .

Kann mir jemand zu diesen beiden Fragen sagen, warum die Aussagen gelten? Bzw. wie ich das am besten aufschreibe?

von **padde** » 20.02.07 21:49

Ja, ich schließe mich an, bzw. kann vllt. jemand kurz erklären, wie man die gesuchten Permutationen bestimmt?
Ich kann mich erinnern, dass das in einer Globalübung gezeigt wurde, aber das war so konfus, dass ich nicht wirklich was davon verstanden habe..

Danke schonmal,
padde

von **MartinL** » 20.02.07 21:55

Die Lösung ist eigentlich relativ simpel. Wenn man die beiden Permutationen genau mit den Zykeln übereinstimmend untereinander schreibt, und sich dann die Zykelklammern wegdenkt, so steht die gesuchte Permutation in der Abbildungsschreibweise (oben stehen der Ausgangswert und unten die Zahl, auf welche abgebildet wird).

Warum funktioniert das?

Nun als erstes wird die Inverse der gesuchten Permutation ausgeführt ... in der Grafik entspräche das einem sprung von der unteren in die Obere Zeile für ein entsprechendes Argument. Dann wird die Permutation aus der Mitte ausgeführt .. das entspricht einem Schritt weiter in der Permutation oben (Achtung nun wieder Zykelschreibweise beachten!). Dann wird die gesuchte Permutation nochmal ausgeführt ... aber in die normale Richtung. Das entspricht einem Sprung nach unten in der Grafik. Da die Zykel genau übereinstimmen springt man immer nur nach oben, dort ein Element weiter und trifft dann genau das eben nächste Element in der Zielpermutation.

von kb » 20.02.07 22:23

Und so kann man das aufschreiben:
$(1,4,3)(2,6)(5)$ und
$(3,6,4)(1,2)(5)$ . Man liest das wie eine Permutation, also als
$\left (\begin{array}{c}1 & 4 & 3 & 2 & 6 & 5\end{array} \\ <br />\begin{array}{c}3 & 6 & 4 & 1 & 2 & 5 \end{array} \right )$ bzw.
$\left (\begin{array}{c}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\end{array} \\ <br />\begin{array}{c}3 & 1 & 4 & 6 & 5 & 2 \end{array} \right ) = (1,3,4,6,2)(5)=\tau^{-1}$
Fertig. Kannst es ja ausprobieren, es geht =]

von **CrazyPumuckl** » 21.02.07 10:55

Muffi hat geschrieben: $\rho^{77} = \rho^2 = (1,2,6,3,4)(5)$

Frage: Wieso ist $\rho^{77} = \rho^2$ ?

Ich habe folgende Werte erhalten: $\rho^2=(1,2,6,3,4)(5),\quad\rho^3=\rho^-1,\quad\rho^4=id,\quad\Rightarrow\rho^5=\rho,\dots,\rho^{77}=\rho^1$

Wo liegt da mein Denkfehler?

von **SpatzenArsch** » 21.02.07 11:04

CrazyPumuckl hat geschrieben:
Muffi hat geschrieben: $\rho^{77} = \rho^2 = (1,2,6,3,4)(5)$

Frage: Wieso ist $\rho^{77} = \rho^2$ ?

Ich habe folgende Werte erhalten: $\rho^2=(1,2,6,3,4)(5),\quad\rho^3=\rho^-1,\quad\rho^4=id,\quad\Rightarrow\rho^5=\rho,\dots,\rho^{77}=\rho^1$

Wo liegt da mein Denkfehler?

$\rho^3 = (1,4,3,6,2),\quad \rho^4 = \rho^{-1}, \quad\rho^5 = id$

von **CrazyPumuckl** » 21.02.07 11:08

*autsch* ok, stimmt ^^

hab eins übersprungen

von **Muffi** » 21.02.07 11:08

CrazyPumuckl hat geschrieben:
Muffi hat geschrieben: $\rho^{77} = \rho^2 = (1,2,6,3,4)(5)$

Frage: Wieso ist $\rho^{77} = \rho^2$ ?

Ich habe folgende Werte erhalten: $\rho^2=(1,2,6,3,4)(5),\quad\rho^3=\rho^-1,\quad\rho^4=id,\quad\Rightarrow\rho^5=\rho,\dots,\rho^{77}=\rho^1$

Wo liegt da mein Denkfehler?

kgV der Zykluslängen ist in diesem Fall 5. Also ist $\rho^5 = id$ . Deswegen gilt $\rho^{77} = \rho^{(77 mod 5)}= \rho²$ .

von **CrazyPumuckl** » 21.02.07 11:50

Cool. Also entweder hat uns das keiner beigebracht oder ich hab in der Vorlesung was verpennt. Wie ist den $(Permutation)^0$ definiert? Ist das die Identität?

von **CrazyPumuckl** » 21.02.07 12:13

Ach ja, wo wir gerade bei Permutationen sind: Könnte jemand erklären, wie man bei folgender Aufgabenstellung am besten vorgeht:

Schreiben Sie die folgenden Produkte als ziffernfremde Zykel:

i) (1, 2, 3)(5, 4, 3, 2)(2, 6, 4) und
ii) (1, 4)(2, 3, 4)(5, 6, 7, 1)(1, 3)(6, 7, 2).

Thx.

von **p0llux** » 21.02.07 12:29

$(1, 2, 3)(5, 4, 3, 2)(2, 6, 4)=(1, 2, 3) \circ (5, 4, 3, 2) \circ (2, 6, 4)$

Das kann man dann ausrechnen.

von **CrazyPumuckl** » 21.02.07 12:37

?!

Wie man Produkte ausrechnet ist mir klar, wir haben das aber bisher nur für "geschlossene" Permutationen gemacht. Wenn man jetzt hinten bei der 2 anfängt, bildet die auf die 6 ab. Und dann? da kommt in den beiden linken Permutationen keine 6 mehr vor...

von **p0llux** » 21.02.07 12:43

Wenn da keine 6 steht, dann wird die 6 auf die 6 abgebildet, wo is das Problem?

$(1, 2, 3)(5, 4, 3, 2)(2, 6, 4)=(1, 2, 3)(4)(5)(6) \circ (1)(6)(5, 4, 3, 2) \circ (2, 6, 4)(1)(3)(5)$

von kb » 21.02.07 14:28

richtig, wenn die Zahl ein keinem vorherigen Zykel vorkommt schreibst du sie auf. Also:

$(1, 2, 3)(5, 4, 3, 2)(2, 6, 4)$
(ich fange immer bei der 1 an)
$(1,$
1 -> 2. keine 2 in vorherigem Zykel. Also
$(1, 2,$
2 -> 6. keine 6 in vorherigem Zykel. Also
$(1, 2, 6,$
6 -> 4 -> 3 -> 1. Also Zykel fertig.
$(1, 2, 6)(3,$
usw...erhälst dann
$(1, 2, 6)(3)(4, 5)$

von **padde** » 21.02.07 14:47

Nochmal zu der Aufgabe am Anfang zurück:

Kann man dementsprechend davon ausgehen, dass die gesuchten Permutationen nur dann existieren, wenn die beiden gegebenen Permutationen von den Zyklen her "zueinander passen"?

padde

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