[AfI] Maximum-Minimum Satz von Weierstraß

[philipp]

Wo ist der Sinn/Vorteil der zweiten Aussage?

Ist D (Defbereich) kompakt und f stetig, dann existieren x_0 und x_1 mit f(x_0) <= f(x) <= f(x_1) fuer alle x aus D

Ist doch logisch. Das gilt auch fuer nicht stetige Funktionen, naemlich einfach wenn x_0 = x_1 = x

Was soll das?

[zven]

Ja, die Aussage ist in der Tat logisch, jedoch bezieht sie sich nur auf stetige Funktionen. Bei nicht-stetigen Funktionen haut das nicht immer hin. In diesen Fällen kann man nicht eine solch schöne Aussage treffen. Ich glaub, das war auch schon der größere Sinn an der Aussage.

[philipp]

Hae, versteh's immer noch nicht. Siehe mein letzter Satz.
Nenne mir eine Funktion die nicht stetig ist, wo das nicht gilt.

[zven]

1/x auf dem Intervall D = [-1,1]. An der Stelle 0 unstetig. Die Funktion haut da gegen -infty und infty ab. In dem Fall ein x_0 und x_1 zu finden dürfte schwierig werden.

[philipp]

Ja in dem fall ist ja x auch nicht aus D, wie im Satz vorausgesetzt.
D ist [-1,1] \ {0} und nicht [-1,1]

[zven]

Wieso? Die 0 darf da drin sein. D muss doch nur kompakt sein?
D = Defbereich, nicht Wertebereich

[philipp]

Also D = [-1,1] und somit 0 in [-1,1] => existiert auch f(0)

Eine Funktion f von einer Menge D in eine Menge W ist eine Zuordnung, die jedem x aus D genau ein y aus W zuordnet

Was ist also f(0) bei dir?

[zven]

Der Wert für f(0) existiert dort natürlich nicht. Die Funktion ist nicht stetig. In der Schulmathematik würde man sagen, die Funktion ist dort unstetig. Wir haben da glaube ich ein Problem bei unseren Regeln zur Stetigkeit. Bin jetzt auch kein Fachmann. Wichtig ist doch nur, dass D kompakt ist und f unstetig. Mehr wolltest du doch nicht haben, oder?

[philipp]

Also hier nochmal komplett ausm Skript:

Es sei D kompakt und f: D -> R stetig. Dann gilt:
Es existiert x_0, x_1 aus D mit f(x_0) <= f(x) <= f(x_1) fuer alle x aus D

Also es wird schon vorausgesetzt, dass D der Defbereich von f ist, nicht nur dass D kompakt ist.

[$veno]

wenn du aber eine folgende Funktion hast:

f(x) = 1/x ; für x ungleich 0;
= 0 für x gleich 0;

Dann ist sie auf [-1;1] definiert, hat aber kein Maximum, weil sie nicht stetig ist, dann macht der Satz Sinn!

Gruss sven

[kb]

Da f unstetig ist und f(0) nicht existiert, kannst du so eine Aussage gar nicht machen, denn "...f(x)...für alle x aus D" existiert ja gar nicht. So eine Aussage über nicht Definiertem macht keinen Sinn, und deshalb kannst du die Aussage nicht über unstetige Funktionen machen.

@veno
würde die Aussage trotzdem erfüllen, denn f(-1) <= f(0) <= f(1)

Der Satz sagt ja im Grunde aus, dass man dann immer zwei Funktionswerte <= und >= finden kann.

[zven]

@kb: Aber nicht für alle x wie der Satz besagt. Wenn die Funktion zwischendurch ins unendliche abhaut, geht das nicht mehr.

[philipp]

Man kann immer ein x_0 und ein x_1 finden:

f(x) <= f(x) <= f(x)
Daraus folgt, dass wenn ich x_0 = x_1 = x waehle gilt:
f(x_0) <= f(x) <= f(x_1)

Das war das was ich am Anfang meinte.

[zven]

Also es gibt Fälle, da klappt das auch für unstetige Funktionen. Da steigt eine immer schön an und macht zwischendurch einen kleinen Sprung nach oben, steigt dann aber wieder weiter.
Es gibt aber auch Fälle, da klappt das nicht.
Auf dem Bild die links ist schön stetig. Rechts die haut zu x=0 gegen Unendlich ab. Die ist ja wohl sowas von unstetig. dort ein x_0 und x_1 zwischen deren Funktionswerte alle anderen liegen zu finden dürfte doch schwierig werden, oder?

[kb]

@kb: Aber nicht für alle x wie der Satz besagt. Wenn die Funktion zwischendurch ins unendliche abhaut, geht das nicht mehr.

ich meinte das natürlich nur unter der Bedingung der Stetigkeit =]

@philipp
jo, so hab ich das auch verstanden, was du sagen willst =]
Dennoch nein, das kannst du nicht finden, auch nicht wenn du x_0 = x = x_1 setzt, denn wie schon gesagt, ist bei den genannten unstetigen Funktionen (hier 1/x) an der Stelle 0 f(0) gar nicht definiert! Also auch wenn du x = 0 = x_0 = x_1 würdest, da f(0) nicht definiert ist trifft die Aussage nicht zu!